基本不等式經(jīng)典例題精講-wenkub.com
2025-03-22 00:14 本頁面
【正文】 你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。（2）求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與x＜0討論.（1）解法一：∵0＜x＜,∴13x＞0.∴y=x(13x)= 3x(13x)≤［］2=，當且僅當3x=13x，即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴x＞0.∴y=x(13x)=3x(x)≤3［］2=，當且僅當x=x,即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.（2）解：當x＞0時，由基本不等式，得y=x+≥2=2，當且僅當x=1時，等號成立.當x＜0時，y=x+=［(x)+］.∵x＞0,∴(x)+≥2,當且僅當x=,即x=1時，等號成立.∴y=x+≤2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域為(∞,2］∪［2,+∞).綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備.變式訓練1當x＞1時，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞1x+1＞0,變x=x+11時x+1與的積為常數(shù).解：∵x＞1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+1≥21=1.當且僅當x+1=,即x=0時,取得等號.∴f(x)min=1.變式訓練2求函數(shù)y=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令t=x2+1，則t≥1且x2=t1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,當且僅當t=,即t=1時，等號成立.∴當x=0時，函數(shù)取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，
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