[自然科學(xué)]第五章_線性時(shí)不變系統(tǒng)的變換分析(已修改)
2025-04-03 02:08 本頁(yè)面
【正文】 第五章 線性時(shí)不變系統(tǒng)變換分析Transform Analysis of Linear TimeInvariant Systems 引言傅立葉變換 ， z變換 分析 LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng) ? 單位脈沖響應(yīng) h[n] 頻率響應(yīng) H(ejω)??h[n] （傅立葉變換 ) 存在（收斂）H(z)?? h[n] （ z變換 ) 傅立葉變換推廣，收斂LTI系統(tǒng) ? h[n]， H(ejω)， H(z) Y(ejω)= H(ejω)X(ejω) Y(z) = H(z)X(z) H(z) 系統(tǒng)函數(shù) （ system function） LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 系統(tǒng)對(duì)指數(shù)輸入（特征函數(shù)） ejωn的復(fù)增益（特征值）系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系（頻域）： Y(ejω)= H(ejω)X(ejω)| H(ejω)| 幅度響應(yīng)，增益≮ H(ejω) 相位響應(yīng)，相移 理想頻率選擇性濾波器 | H(ejω)| 對(duì)不同頻率的值決定了輸出在響應(yīng)頻率上的值。理想低通濾波器 ：選取信號(hào)的低頻成分，抑制信號(hào)的高頻成分其響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)：理想高通濾波器ωc|ω| ≤π頻率無(wú)失真通過(guò)， ωc以下頻率不予通過(guò)理想濾波器：（ 1） h[n]無(wú)限長(zhǎng) 非因果 計(jì)算上不可實(shí)現(xiàn)（ 2）相位響應(yīng)為零因果性 ??非零相位響應(yīng) 相位失真和延遲（ phase distortion and delay）理想延遲系統(tǒng)：相位失真： 線性相移 ? 一種輕微的失真 ? 產(chǎn)生序列上的移位? 延遲失真 （不產(chǎn)生波形上的變形）近似理想濾波器設(shè)計(jì)：線性相位響應(yīng) ?? 理想模型例：具有線性相位的理想低通濾波器具有線性相位的理想 頻率選擇性 濾波器：分隔輸入信號(hào)頻帶 (頻率選擇 )輸出延遲 nd群延遲（ group delay） : 相位特性線性程度的一種度量定義：含義：對(duì)窄帶輸入 x[n]=s[n]cos(ω0n) s[n] 為包絡(luò)， ω0載波頻率即 X(ejω)僅在 ω= ω0附近為非零系統(tǒng)的相位效果（在 ω= ω0附近）：即系統(tǒng)的輸出：包絡(luò)的延遲 ? 相位特性導(dǎo)數(shù)的負(fù)值非因果例子：衰減和群延遲的效果 用線性常系數(shù)差分方程表征系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)理想頻率選擇性濾波器 ? （近似、逼近）一類(lèi)頻率選擇性濾波器考慮由線性常系數(shù)差分方程表示的一類(lèi)系統(tǒng)：對(duì)于初始松弛（ initial rest）的輔助條件 ??因果、線性、時(shí)不變z變換 ? （分析、描述） 線性常系數(shù)差分方程（表示系統(tǒng)）的性質(zhì)、特征方程兩邊 z變換 系統(tǒng)函數(shù)：或差分方程 ??系統(tǒng)函數(shù) 系數(shù)直接對(duì)應(yīng)關(guān)系零極點(diǎn)形式例： 穩(wěn)定性和因果性對(duì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)差分方程 （線性時(shí)不變）不同的收斂域 ??不同的單位脈沖響應(yīng) h[n]因果、穩(wěn)定的條件： （線性時(shí)不變系統(tǒng)）ROC是一個(gè)圓的外部，且包括單位圓也就意味著： 系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi) 逆系統(tǒng)（ Inverse Systems）定義：與系統(tǒng) H(z)級(jí)聯(lián)后的總系統(tǒng)函數(shù)：G(z) = H(z)Hi(z) = 1時(shí)域： g[n] = h[n] ＊ hi[n] = δ[n]頻率響應(yīng)：并不是所有系統(tǒng)都有逆系統(tǒng)，如理想低通濾波器沒(méi)有逆系統(tǒng)表示：無(wú)法恢復(fù)被理想濾波器濾去的頻率分量。具有有理系統(tǒng)函數(shù)的一類(lèi)系統(tǒng)：零極點(diǎn) 互換逆系統(tǒng)的收斂？卷積定理表示：H(z)和 Hi(z)收斂域重合（不要求完全相同）若 H(z)因果，收斂域?yàn)椋荷鲜绞諗坑騼?nèi)某個(gè)重合區(qū)域即 Hi(z)的收斂域 例子 1：一階系統(tǒng)的逆系統(tǒng)Hi(z)收斂域的兩者可能： |z|＞ |z| ＜ 重合的收斂域： |z|＞ 相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)：例子 2：逆系統(tǒng)：收斂域的兩種可能： |z|＞ 2和 |z| ＜ 2都與 |z|＞ 都是有效的逆系統(tǒng)推論： H(z)為因果系統(tǒng)，零點(diǎn)是 ck ,k=1,…, M，當(dāng)且僅當(dāng) Hi(z)的收斂域?yàn)椋耗嫦到y(tǒng)一定因果。若同時(shí)要求逆系統(tǒng)穩(wěn)定， Hi(z)的收斂域必須包括單位圓，即表示 H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。當(dāng)且僅當(dāng) H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)時(shí)。穩(wěn)定因果系統(tǒng) ? 穩(wěn)定因果逆系統(tǒng)定義為： 最小相位系統(tǒng)（ minimumphase systems） 有理系統(tǒng)函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)H(z)作 z反變換（部分分式法） ? h[n]一階極點(diǎn)的有理系統(tǒng)函數(shù)：若系統(tǒng)因果，可得：若至少存在一個(gè)非零極點(diǎn)， h[n]無(wú)限長(zhǎng)， IIR系統(tǒng)若除 z =0 外，沒(méi)有極點(diǎn)h[n]有限長(zhǎng)， FIR系統(tǒng)FIR系統(tǒng)，差分方程 == 卷積例子：一個(gè)簡(jiǎn)單的 FIR系統(tǒng)， h[n]為無(wú)限長(zhǎng)指數(shù)序列的截?cái)嗥湎到y(tǒng)函數(shù)分子的零點(diǎn)：若 a為正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)的極點(diǎn)（ z = a）被一個(gè)零點(diǎn)抵消M =7 有理系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)：ejω 變量頻率響應(yīng)（幅度 相位 群延遲） ??零極點(diǎn)關(guān)系（表示）用 z = ejω代入 H(z)，得頻率響應(yīng)幅度：采用 幅度平方函數(shù) ：或幅度表示 ：全部零點(diǎn)到單
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