【正文】 劉敬喜， 2022 第二章 單跨梁的彎曲理論 Bending Theory of SingleSpan Beam 劉敬喜， 2022 幾何特性：受外荷作用而發(fā)生彎曲的桿件叫作梁，僅在梁的兩端有支座的梁叫單跨梁。懸臂梁是單跨梁的一種特殊情形。 船體骨架是復(fù)雜的空間桿件系統(tǒng)，組成骨架的每一根桿件都可看作梁。以后在分析桿件系統(tǒng)時，總是根據(jù)一定的法則把他們拆開為一根一根桿件進(jìn)行分析。每一根桿件都是單跨梁。 劉敬喜， 2022 一般 為斜 直線 水平線 拋物 線下 凸 有 極 值 為 零 處 有尖 角 (向 下） 有突 變 (突 變值 = FP) 有 極 值 變 號 無變化 有突變 （突變 值 =M） 剪力圖 彎矩圖 梁上 情況 無外力 均布力作用 (q向下 ) 集中力作用 處 (FP向下 ) 集中力 偶 M作 用處 鉸處 無 影 響 為零 斜 直 線 剪力圖與彎矩圖之間的關(guān)系 劉敬喜， 2022 167。 21 梁的彎曲微分方程式及其通解 現(xiàn)考慮一單跨直梁 : 規(guī)定 : 梁的載荷 q——向下為正； 梁的撓度 v—— 向下為正 。 梁的轉(zhuǎn)角 θ —— 順時針方向為正 。 圖 )(xqxxdxyi?ovj? xM dNN ?qdMM ?y圖 dxxxNdx梁的彎矩 M—— 左逆右順為正； 梁的剪力 N—— 左下右上為正 。 c 劉敬喜， 2022 根據(jù)微段的平衡條件得到： ????00cMYEIM??1NdxdMqdxdN???vdxvd ???? 221?有下式： （ 2－ 1） （ 2－ 4） （ 2－ 3） （ 2－ 2） 劉敬喜， 2022 qE I vNvEIMvEIIV???????? 利用式（ 2－ 1）～（ 2－ 4），就可得到梁的彎曲微分方程式： （ 2－ 5） （ 2－ 6） （ 2－ 7） 式（ 2－ 7）就是等截面直梁的彎曲微分方程式。 劉敬喜， 2022 ，初參數(shù)法 式（ 2－ 7）是簡單的常微分方程，逐次積分可得到： NCqdxvEIx?????? ? 10（ a） （ d） vCxCEIxCEIxCEIqd x dx dx dxEIvx x x x?????? ? ? ? ? 4322310 0 0 0121611（ b） MCxCqd x dxvEIx x?????? ? ? 210 0（ c） ??????? ? ? ? 32210 0 01211 CxCEIxCEIqd x dx dxEIvx x x劉敬喜， 2022 梁左端的彎曲要素稱為初始彎曲要素，或簡稱為初參數(shù)。 0?x令04030201 , vCCMCNC ???? ?式（ d）就是微分方程式（ 2－ 7）的通解 可見，積分常數(shù) 就是梁的初參數(shù)。于是通解式（ d）可用梁的初參數(shù)表示為： 4321 , CCCC? ? ? ??????x x x xqdx dx dx dxEIxNEIxMEIxvv0 0 0 030200016121? （ e） 由初參數(shù)引起的撓度 由分布載荷 劉敬喜， 2022 如果沒有分布載荷項，上式變?yōu)椋? 302000 6121 xNEIxMEIxvv ???? ?（ 28） 這說明，梁的撓度取決于梁端四個初參數(shù) 。 討論： （ 1）集中力作用下的梁 。 p b l x y x 劉敬喜， 2022 p b l x y x 302000 6121 xNEIxMEIxvv ???? ?將梁分成兩段： bx ??0lxb ?? ? ? ? ? ? ? 326121 bxNEIbxMEIbxvv bbbb ??????? ???????????????????????????????????????bxbxbxbxbxbxbxbxvEIpvEIvEIvEIvv??由邊界條件確定 由連續(xù)性條件確定 由連續(xù)性條件： 劉敬喜， 2022 ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? 32302022 6 12 16 12 1 bxNEIbxMEIbxvxNEIxMEIxvv bbbbb ??布勃諾夫?qū)⒑瘮?shù)斷子符號 ‖ b引入船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)，從而梁全長的撓曲線可以表示為 ????????lxbbxb 100斷子函數(shù) 061216121 302000302000???????????? ????bbbxbxvvbNEIbMEIbvbNEIbMEIbvvv??0??? ?? ??bbxbx???0??? ?? ??bbxbxMMMpNNpNbbxbx???? ?? ??? ? 3302022 6 16 12 1 bxpEIxNEIxMEIxvv bb ?????? ?劉敬喜， 2022 302000 6121 xNEIxMEIxvv ???? ? 將梁分成兩段： bx ??0 lxb ??為第一段， p為第二段，并把集中力 看作是作用在第二段的初始點。于是對于第一段，梁的撓曲線可寫為： 第二段相對與第一段來說，它在端點多了一個集中力，這個集中力相當(dāng)于第二段的一個初始剪力，且為正。所以梁的撓度在第一段過渡到第二段時僅增加一項與 P有關(guān)的項： EIxP 63此處 為自第二段開始算起的坐標(biāo) bxx ??xbx ?b 再在 加符號 ，表示此項在 EIxP 63時才起作用，于是得到梁的撓曲線為 : 劉敬喜， 2022 同理： （ 2）在集中彎距作用下的梁 。 b l x y x m 圖 EIbxpxNEIxMEIxvv b 6)(6121 3302000?????? ? （ 29） EIbxmxNEIxMEIxvv b 2)(6121 2302000?????? ? （ 210） 劉敬喜， 2022 同理： （ 3）在任意分布載荷作用下的梁 。 b l x y x q(x) 圖 ? ? ???? dEIxqxNEIxMEIxvvxbb ??????? 3302000)(6121（ 211） 劉敬喜， 2022 綜上所述，在任意載荷作用下梁的撓曲線方方程為： b l x y x q(x) c a P m 圖 ? ?? ?? ?????dEIxqbxpEIxNEIaxmEIxMEIxvvxccba???????????6)(61612121333022000 （ 212） 通用方程式 劉敬喜， 2022 167。 22 梁的支座和邊界條件 （ 1）自由支持在剛性支座上 邊界條件為 : 0vv???? 0圖 活動鉸支座 固定鉸 支座 劉敬喜， 2022 （ 2）剛性固定在剛性支座上，剛固端 00????vθv邊界條件為 : 圖 劉敬喜， 2022 （ 3）彈性支座 彈性支座， v∝ P KPvAPv ?? ,剛性系數(shù) ??????????????????vA E IvvA E Iv梁右端截面梁左端截面）梁右端截面剪力（）梁左端截面剪力（ 自由支持在彈性支座上梁端的邊界條件為 : vA E Ivv ??????? ?,0v v EI x y P 圖 A柔性系數(shù) 劉敬喜， 2022 討論：剛性系數(shù)為 0時，和柔性系數(shù)為 0時各代表哪種邊界條件？ 劉敬喜， 2022 （ 4）彈性固定端 所謂彈性固定端。 ?? ?? KM,MA ?? 或? ? x y A? A? EI M M 圖 M??梁端力矩 柔性系數(shù) 剛性系數(shù) 劉敬喜， 2022 vEIAv0v ?????? ?,????????????vA E Iv vEIAv 梁右端截面梁左端截面 ? 梁兩端受到的支座反力矩即梁端彎距，根據(jù)上節(jié)彎距正負(fù)號的規(guī)定，他們均為正。由轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定，左端為正，右端為負(fù)。由彎距與撓度之間的微分關(guān)系： ?＝ EIv’’,將其代入式（ 214）得 這就是彈性固定端得邊界條件。由此可 得彈性固定在剛性支座上梁端的邊界條件： 劉敬喜， 2022 討論：剛性系數(shù)為 0時，和柔性系數(shù)為 0時各代表哪種邊界條件？ ? ? x y A? A? EI y 圖 圖 劉敬喜， 2022 例 1:求圖 轉(zhuǎn)角。 x y A? EI m 圖 l 當(dāng)梁端有集中力或彎距作用時，梁端的邊界條件都應(yīng)當(dāng)把他們考慮在內(nèi)。對于給定已知撓度或轉(zhuǎn)角，在寫邊界條件時，也應(yīng)把他們考慮在內(nèi)。 有了邊界條件，就可以應(yīng)用撓曲線通用方程式確定單跨梁的撓曲線方程和其它彎曲要素。 劉敬喜， 2022 解：從圖中可以看出，除了在梁的右端有一集中彎距外，梁上沒有任何載荷。由式（ 28）得： 302000 6121 xNEIxMEIxvv ???? ?lNMmlNEIlMEIl0030200 61210????? ?mvEIv lx ????? ,0000 0MAv?? ?? 根據(jù)梁右端的邊界條件： 將兩端的邊界條件代入到上式得： 4個未知數(shù)，要列 4個平衡方程： 根據(jù)梁左端的邊界條件： 000 ,0 MAv xx ?? ?? ??（ a） 劉敬喜， 2022