【正文】 1 第 二 章 行 列 式 2 ?行列式的概念 ?n 階行列式 的定義 ?行列式的性質(zhì) ?行列式按行（列）展開定理 ?行列式的計(jì)算 ?再論可逆矩陣 3 二元線性方程組的求解（消元法） . a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 (1) (2) 167。 1 行列式的概念 背景 ： 當(dāng) 021122211 ?? aaaa 時(shí)，方程組有唯一解 211222111212112211222111222211 , aaaababaxaaaaababx??????一般形式 也可表示為 A X b?其中 1 1 1 2 1 12 1 2 2 2 2,a a x bA X ba a x b? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 定義 二階行列式 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2??aaa a a aaa為了方便表示上述結(jié)果，引入下列定義 （ 1） 等號(hào)右邊的式子稱為行列式的展開式 （ 2） 行列式的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，稱為行列式值。 （ 3） 稱為行列式的元素 ,右下標(biāo)表示位置 （ 4） 正確區(qū)分矩陣和行列式 :矩陣是表 ,行列式是數(shù) （ 5） 二階行列式也可以稱為矩陣 的行列 式 ija1 1 1 22 1 2 2aaAaa???????注意： 5 引入二階行列式的 定義 后，二元一次線性方程組的解可以用二階行列式表示。 ,222112112221211aaaaababx ?11 121 2211 1221 22,ababxaaaa?1 1 1 22 1 2 20aaaa? 當(dāng) 時(shí)，有 其中，表示分母的行列式稱為系數(shù)行列式 6 同樣，可以用消元法求解三元一次線性方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 定義 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?322113 aaa?312312 aaa?312213 aaa? 332112 aaa?對(duì)角線法則 三階行列式 系數(shù)行列式 7 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa當(dāng)系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0時(shí)?相應(yīng)的三元線性方程組 方程組有唯一解 ,11 DDx ? ,22 DDx ? .33 DDx ?其中 ,3332323222131211aabaabaabD ? ,3333123221131112abaabaabaD ? .3323122221112113baabaabaaD ?8 對(duì)角線法則 只適用于二階與三階行列式． (1)項(xiàng)數(shù)： 2階行列式含 2項(xiàng)， 3階行列式含 6項(xiàng) , 這恰好就是 2!, 3!. (2)每項(xiàng)構(gòu)成 : 2階和 3階行列式的每項(xiàng)分別是位于 不同行不同列的 2個(gè)和 3個(gè)元素的乘積 . (3)各項(xiàng)符號(hào) : 2階行列式含 2項(xiàng) ,其中 1正 1負(fù) , 3階 行列式 6項(xiàng) ,3正 3負(fù) . 觀察二階行列式和三階行列式： 思考：四階及四階以上的行列式的展開式應(yīng)該如何？ 9 例 1 計(jì)算行列式 . 542303241????D例 2 解方程組 1 2 313231,2 2 ,3。x x xxxxx? ? ??????? ???注意： 系數(shù)行列式為 1 1 12 0 1 .0 1 1D ??10 n ! 定義 由 n 個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組稱為這 n 個(gè)數(shù)字的一個(gè) n 級(jí) 排列 . 例如： 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 3 2 1 4 都是數(shù) 1， 2， 3， 4， 5構(gòu)成的一個(gè) 5級(jí)排列 . 自然排列 . 按照由小到大的順序排成的排列稱為 定義 167。 2 n階行列式的定義 一 .排列的逆序數(shù) 注： n個(gè)數(shù)的不同排列有 個(gè) 11 在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這個(gè)排列有一個(gè)逆序 . 一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù) 12()? nk k k定義 稱為這個(gè)排列的 逆序數(shù) ， 排列 12 nk k k的 逆序數(shù) 通常記為 例如：排列 12的逆序數(shù)為 ， 排列 21的逆序數(shù)為 ， 排列 231的的逆序數(shù)為 ， 排列 213的逆序數(shù)是 。 0 1 2 1 12 定義 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為 偶排列 ，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為 奇排列 。 n 級(jí)排列 12 ni i i的逆序數(shù)的計(jì)算 小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比數(shù) 11 ii小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比數(shù) 22 ii???小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比數(shù) 11 ??? nn ii或者 )( 21 niii ??= 13 大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比數(shù) nn ii大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比數(shù) 11 ??? nn ii??大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比數(shù) 22 ii?求排列 32514 的逆序數(shù) . 例 1 例 2 求排列 453162 的逆序數(shù) . 例 3 求排列 423165 的逆序數(shù) . )( 21 niii ?? = 思考 ： 由上面的例題你還能得到什么方法來計(jì)算排列的逆序數(shù)？ 14 定義 把一個(gè)排列中的某兩個(gè)數(shù)交換位置，其余的數(shù)不動(dòng)，這種交換稱為一次 對(duì)換 . 將相鄰的兩個(gè)數(shù)對(duì)換，稱為 相鄰對(duì)換 . 定理 一次對(duì)換，改變排列奇偶性． 證明：（由特殊到一般） 思考： 對(duì)排列進(jìn)行一次對(duì)換，排列的奇偶性是否發(fā)生變化？ 例：排列 132的逆序數(shù)是 1，為奇排列。將數(shù) 1， 2做一 次對(duì)換變?yōu)榕帕?231，其逆序數(shù)是 2，為偶排列。 15 a b 的逆序數(shù)不變 。 經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加 1 , 當(dāng) 時(shí) ， ba?當(dāng) 時(shí)， ba?經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變， 的逆序數(shù)減少 1. a b因此，一次相鄰對(duì)換，排列改變奇偶性 . ml bbabaa ?? 11對(duì)換 ， a bml bbbaaa ?? 11除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變 . b,a設(shè)排列為 先證相鄰對(duì)換 , 16 所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列都改變 奇偶性 . 次相鄰對(duì)換 1?m nml ccabbbaa ??? 111,111 nml cbcbabaa ???? 次相鄰對(duì)換 12 ?m ,111 nml cacbbbaa ???次相鄰對(duì)換 m nml ccbbabaa ??? 111 nml ccbbbaaa ??? 111 a b再證一般對(duì)換 設(shè)排列為 nml cbcbabaa ??? 111現(xiàn)來對(duì)換 與 a .b17 定理 2?n 時(shí)， n 個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為 個(gè) . 2!n推論 1 偶數(shù)次對(duì)換不改變排列的奇偶性；奇數(shù)次對(duì)換改變排列的奇偶性。 推論 2 任意一個(gè) n 級(jí)排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換變成自然排列，并且所作對(duì)換的次數(shù)與該排列有相同的奇偶性 . 18 三階行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?322113312312332211 aaaaaaaaa ???332112322311312213 aaaaaaaaa ???說明： （ 1）項(xiàng)數(shù)與列標(biāo)排列個(gè)數(shù)的關(guān)系 ： 三階行列式 共有 項(xiàng)，即 項(xiàng)． 6 !3（ 2） 每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu) ： 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積 （ 3） 每項(xiàng)的符號(hào) ： 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的列指標(biāo)排列（當(dāng)行指標(biāo)排列為自然排列時(shí)）． 二 . n階行列式的定義 19 例如 322113 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ? ,2113 1 2 ????322311 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ? ,101132 ????偶排列 奇排列 正號(hào)?,負(fù)號(hào)?1 2 31 2 31 2 31 1 1 2 1 3()2 1 2 2 2 3 1 2 3()3 1 3 2 3 3( 1 )p p