【正文】 概率論復(fù)習(xí)及 R相關(guān) 引言 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡(jiǎn)單游戲 將不確定性 數(shù)量化 ， 20世紀(jì)初葉才開始的 . 世間萬(wàn)物的繁衍生息；大自然的千變?nèi)f化 …… ， 面臨著不確定性和隨機(jī)性 . 已經(jīng)給人類活動(dòng)的一切領(lǐng)域帶來(lái)了一場(chǎng)革命 . 隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言 ? 多次重復(fù)拋一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)大致一半； 測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測(cè)量的結(jié)果可能是有差異的 . 但多次測(cè)量結(jié)果的平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù) . 在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對(duì)所觀測(cè)的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè) 概率論 研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 概率論的起源 賭博 概率論的發(fā)展 測(cè)度 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用和滲透 本學(xué)科的應(yīng)用 幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中 . 1. 氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù) 測(cè) 2. 產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否 應(yīng)用 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案 購(gòu)物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率 模型來(lái)描述，其涉及到 的知識(shí)就是 排隊(duì)論 . 目前，概率統(tǒng)計(jì)理論 進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng) 域的趨勢(shì)還在不斷發(fā)展 . 在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域 ，特 別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長(zhǎng) 等問(wèn)題，都大量采用 概率統(tǒng)計(jì)方法 . 正如法國(guó) 數(shù)學(xué)家 拉普拉斯所說(shuō) : “ 生活中最重要的問(wèn)題， 其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題 .” 機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫(kù)調(diào)度、 第一章 隨機(jī)事件與概率 167。 樣本空間與隨機(jī)事件 一 .隨機(jī)試驗(yàn) : 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察和實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)稱為實(shí)驗(yàn)，用 E表示 實(shí)驗(yàn) E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合 ， 稱為 E的樣本空間 ， 用 S表示 定義 滿足某些條件的 可能結(jié)果 所組成的集合 ,稱為隨機(jī)事件 。 隨機(jī)事件用大寫字母 A， B， C表示 . 在一次試驗(yàn)中 ， 事件 A發(fā)生的含義是 ， 當(dāng)且僅當(dāng) A中一個(gè)樣本點(diǎn)(或基本事件 )發(fā)生 （ 或出現(xiàn) ） 。事件 A發(fā)生也稱為事件 A出現(xiàn) 事件的發(fā)生 2. 隨機(jī)事件 },3,2,1,0{ NS ??}),{( 21 TyxTyxS ????其中 T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度 :3E觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度 :2E觀察 總機(jī)每天 9:00~10:00接到的電話次數(shù) 有限樣本空間 無(wú)限樣本空間 :1E 投一枚硬幣 3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù) }3,2,1,0{?S例 給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間 一 . 古典概率 167。 12 事件的概率（ Probability） 1． 古典概型 定義 1 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同 . 稱這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn) 或古典概型 . 這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題 . 定義 2 設(shè)試驗(yàn) E是古典概型 , 其樣本空間 S由 n個(gè)樣本點(diǎn)組成 , 事件 A由 k個(gè)樣本點(diǎn)組成 . 則定義事件 A的概率為： 稱此概率為古典概率 . 這種確定概率的方法 稱為古典方法 . A包含的樣本點(diǎn)數(shù) P(A)＝ k/n＝ S中的樣本點(diǎn)總數(shù) 排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 . 二 . 幾何概率 向任一可度量區(qū)域 G內(nèi)投一點(diǎn) ， 如果所投的點(diǎn)落在 G中任意可度量區(qū)域 g內(nèi)的可能性與 g的度量成正比 ， 而與 g的位置和形狀無(wú)關(guān) ， 則稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn) 。 或簡(jiǎn)稱為幾何概型 。 2. 概率計(jì)算 1. P(A)=[A的度量 ]/[S的度量 ] 兩人約定于 12點(diǎn)到 1點(diǎn)到某地會(huì)面 ， 先到者等 20分鐘后離去 ， 試求兩人能會(huì)面的概率 ？ 例 1: 解：設(shè) x,y分別為甲、乙到達(dá)時(shí)刻 (分鐘 ) 令 A={兩人能會(huì)面 }={(x,y)||xy|≤20， x≤60, y≤60 } P(A)=A的面積 /S的面積 =（ 602402） /602=5/9 三 .概率的頻率定義 例 2： 從同一型號(hào)同一批次的反坦克彈中任抽一發(fā)反坦克彈射擊目標(biāo) ， 觀測(cè)命中情況 。 設(shè) A代表“ 命中 ” 這一事件 ， 求 P(A)? 1 事件的頻率 在一組不變的條件下，重復(fù)作 n次試驗(yàn)，記 m是 n次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)。 頻率 f=m/n 擲一枚均勻硬幣 ， 記錄前 400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率 P* 的 波 動(dòng) 情 況 。 （ 正面出現(xiàn)頻率的趨勢(shì) ， 橫軸為對(duì)數(shù)尺度 ） 3． 概率的頻率定義 在一組不變的條件下 ， 重復(fù)作 n次試驗(yàn) ， 記 m是 n次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) 。 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n很大時(shí) ， 如果頻率 m/n穩(wěn)定地在某數(shù)值 p附近擺動(dòng) ，而且一般地說(shuō) ， 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加 ， 這種擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小 ， 稱數(shù)值 p為事件 A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率 ， 記作 P(A)=p. 意義 : (1) 提供了估計(jì)概率的方法 。 (2)提供了一種檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則 . ? ?)()(//APABPnmnkmkABP ??? 設(shè) A、 B為兩事件 , P ( A ) 0 , 則 )(/)( APABP稱 為事件 A 發(fā)生的條件下事 件 B 發(fā)生的條件概率，記為 定義 ? ?ABP)()(APABP? 設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為 n， 事件 A所包含的基本事件總數(shù)為 m， 事件 AB所包含的基本事件總數(shù)為 k。 167。 條件概率 利用條件概率求積事件的概率即 乘法公式 ? ? )0)(()()( ?? APABPAPABP? ? )0)(()()( ?? BPBAPBPABP推廣 乘法公式 )0)(( )|()|()()(121111121??????nniinnkkAAAPAAPAAPAPAP?? ?? 某廠生產(chǎn)的燈泡能用 1000小時(shí)的概率 為 , 能用 1500小時(shí)的概率為 , 求已用 1000小時(shí)的燈泡能用到 1500小時(shí)的概率 解 令 A 燈泡能用到 1000小時(shí) B 燈泡能用到 1500小時(shí) 所求概率為 ? ?)()(APABPABP ?AB ?21)()( ???APBP例 3 三．全概率公式 定義 若事件組 B1,… Bn,滿足 ： （ 1） B1,… Bn互不相容且 P(Bi)0， i=1,…, n （ 2） SBnii ???1事件 B1,… Bn,為樣本空間的一個(gè)劃分 則對(duì)任何事件 A， 均有 )|()()(1inii BAPBPAP ???上式稱為全概率公式 則稱事件 B1,… Bn,為樣本空間的一個(gè)劃分 定理 SBnii ???1 ???????))(()(11jiniiniiABABABBAASA ?????niiABPAP1)()( )()(1inii BAPBP ?? ??)( ABP k )()(APABP k???? niiikkBAPBPBAPBP1)()()()(Bayes公式 全概率公式 167。 事件的獨(dú)立性 例 已知袋中有 5只紅球 , 3只白球 .從袋中 有放回地取球兩次， 設(shè)第 i 次取得白球?yàn)? 求 事件 Ai ( i =1, 2 ) . ,)( 12 AAP ,)( 12 AAP,)(,)( 21 APAP解 ,8/3)( 12 ?AAP,8/3)( 12 ?AAP,)(8/3)( 21 APAP ??)()()( 12212 AAPAPAAP ??一． 事件的獨(dú)立性 事件 A1 發(fā)生與否對(duì) A2 發(fā)生的概率沒(méi)有影響 )()()()8/3()( 2121221 APAAPAPAAP ???定義 設(shè) A , B 為兩事件，若 )()()( BPAPABP ?則稱 事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 可視為 事件 A1與 A2相互獨(dú)立 ? 四對(duì)事件 BABABABA ,。,。,。,任何一對(duì)相互獨(dú)立 ,則其它三對(duì)也相互獨(dú)立 試證其一 獨(dú)立獨(dú)立 BABA , ?事實(shí)上 )()()()( BAPAPBAAPABP ????? ? )()()(1)( BPAPBPAP ???)()()( BPAPAP ??第一章復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 隨機(jī)事件 基本事件 ? 頻率 概率 古典概型 A的對(duì)立事件及其概率 互不相容事件的和事件的概率 加法公式 ? 條件概率 概率的乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 ? 事件的獨(dú)立性 n重貝努利試驗(yàn) 隨機(jī)變量 離散型 連續(xù)型 分布函數(shù) 性質(zhì) 分布率 表示方法 兩者聯(lián)系 兩點(diǎn) 二項(xiàng) 兩者聯(lián)系 泊松 密度函數(shù) 兩者聯(lián)系 均勻 指數(shù) 正態(tài) 密度圖形 N(? ,?2) 參數(shù)意義 N(0,1) 隨機(jī)變量的函數(shù) 公式方法一般方法 正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化 第二章 復(fù)習(xí)提綱 第二章 隨機(jī)變量及其分布 為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用 數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來(lái)描述隨 機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果 例 電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用 一個(gè)變量 X 來(lái)描述 例 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以 用一個(gè)變量來(lái)描述 ????反面向上正面向上,0,1)( ?X 有了隨機(jī)變量 ,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái) . 二、引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次