【正文】 概率論復(fù)習及 R相關(guān) 引言 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單游戲 將不確定性 數(shù)量化 ， 20世紀初葉才開始的 . 世間萬物的繁衍生息；大自然的千變?nèi)f化 …… ， 面臨著不確定性和隨機性 . 已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命 . 隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言 ? 多次重復(fù)拋一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)大致一半； 測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的 . 但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù) . 在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性 . 數(shù)理統(tǒng)計 研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對所觀測的問題作出推斷和預(yù)測 概率論 研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性 概率論的起源 賭博 概率論的發(fā)展 測度 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用和滲透 本學(xué)科的應(yīng)用 幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中 . 1. 氣象、水文、地震預(yù)報、人口控制及預(yù) 測 2. 產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否 應(yīng)用 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案 購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率 模型來描述，其涉及到 的知識就是 排隊論 . 目前，概率統(tǒng)計理論 進入其他自然科學(xué)領(lǐng) 域的趨勢還在不斷發(fā)展 . 在社會科學(xué)領(lǐng)域 ，特 別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長 等問題，都大量采用 概率統(tǒng)計方法 . 正如法國 數(shù)學(xué)家 拉普拉斯所說 : “ 生活中最重要的問題， 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題 .” 機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、 第一章 隨機事件與概率 167。 樣本空間與隨機事件 一 .隨機試驗 : 對隨機現(xiàn)象進行一次觀察和實驗，統(tǒng)稱為隨機試驗。 隨機實驗簡稱為實驗，用 E表示 實驗 E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合 ， 稱為 E的樣本空間 ， 用 S表示 定義 滿足某些條件的 可能結(jié)果 所組成的集合 ,稱為隨機事件 。 隨機事件用大寫字母 A， B， C表示 . 在一次試驗中 ， 事件 A發(fā)生的含義是 ， 當且僅當 A中一個樣本點(或基本事件 )發(fā)生 （ 或出現(xiàn) ） 。事件 A發(fā)生也稱為事件 A出現(xiàn) 事件的發(fā)生 2. 隨機事件 },3,2,1,0{ NS ??}),{( 21 TyxTyxS ????其中 T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度 :3E觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度 :2E觀察 總機每天 9:00~10:00接到的電話次數(shù) 有限樣本空間 無限樣本空間 :1E 投一枚硬幣 3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù) }3,2,1,0{?S例 給出一組隨機試驗及相應(yīng)的樣本空間 一 . 古典概率 167。 12 事件的概率（ Probability） 1． 古典概型 定義 1 若隨機試驗滿足下述兩個條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個樣本點； (2) 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同 . 稱這種試驗為有窮等可能隨機試驗 或古典概型 . 這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題 . 定義 2 設(shè)試驗 E是古典概型 , 其樣本空間 S由 n個樣本點組成 , 事件 A由 k個樣本點組成 . 則定義事件 A的概率為： 稱此概率為古典概率 . 這種確定概率的方法 稱為古典方法 . A包含的樣本點數(shù) P(A)＝ k/n＝ S中的樣本點總數(shù) 排列組合是計算古典概率的重要工具 . 二 . 幾何概率 向任一可度量區(qū)域 G內(nèi)投一點 ， 如果所投的點落在 G中任意可度量區(qū)域 g內(nèi)的可能性與 g的度量成正比 ， 而與 g的位置和形狀無關(guān) ， 則稱這個隨機試驗為幾何型隨機試驗 。 或簡稱為幾何概型 。 2. 概率計算 1. P(A)=[A的度量 ]/[S的度量 ] 兩人約定于 12點到 1點到某地會面 ， 先到者等 20分鐘后離去 ， 試求兩人能會面的概率 ？ 例 1: 解：設(shè) x,y分別為甲、乙到達時刻 (分鐘 ) 令 A={兩人能會面 }={(x,y)||xy|≤20， x≤60, y≤60 } P(A)=A的面積 /S的面積 =（ 602402） /602=5/9 三 .概率的頻率定義 例 2： 從同一型號同一批次的反坦克彈中任抽一發(fā)反坦克彈射擊目標 ， 觀測命中情況 。 設(shè) A代表“ 命中 ” 這一事件 ， 求 P(A)? 1 事件的頻率 在一組不變的條件下，重復(fù)作 n次試驗，記 m是 n次試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)。 頻率 f=m/n 擲一枚均勻硬幣 ， 記錄前 400次擲硬幣試驗中頻率 P* 的 波 動 情 況 。 （ 正面出現(xiàn)頻率的趨勢 ， 橫軸為對數(shù)尺度 ） 3． 概率的頻率定義 在一組不變的條件下 ， 重復(fù)作 n次試驗 ， 記 m是 n次試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù) 。 當試驗次數(shù) n很大時 ， 如果頻率 m/n穩(wěn)定地在某數(shù)值 p附近擺動 ，而且一般地說 ， 隨著試驗次數(shù)的增加 ， 這種擺動的幅度越來越小 ， 稱數(shù)值 p為事件 A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率 ， 記作 P(A)=p. 意義 : (1) 提供了估計概率的方法 。 (2)提供了一種檢驗理論正確與否的準則 . ? ?)()(//APABPnmnkmkABP ??? 設(shè) A、 B為兩事件 , P ( A ) 0 , 則 )(/)( APABP稱 為事件 A 發(fā)生的條件下事 件 B 發(fā)生的條件概率，記為 定義 ? ?ABP)()(APABP? 設(shè)試驗的基本事件總數(shù)為 n， 事件 A所包含的基本事件總數(shù)為 m， 事件 AB所包含的基本事件總數(shù)為 k。 167。 條件概率 利用條件概率求積事件的概率即 乘法公式 ? ? )0)(()()( ?? APABPAPABP? ? )0)(()()( ?? BPBAPBPABP推廣 乘法公式 )0)(( )|()|()()(121111121??????nniinnkkAAAPAAPAAPAPAP?? ?? 某廠生產(chǎn)的燈泡能用 1000小時的概率 為 , 能用 1500小時的概率為 , 求已用 1000小時的燈泡能用到 1500小時的概率 解 令 A 燈泡能用到 1000小時 B 燈泡能用到 1500小時 所求概率為 ? ?)()(APABPABP ?AB ?21)()( ???APBP例 3 三．全概率公式 定義 若事件組 B1,… Bn,滿足 ： （ 1） B1,… Bn互不相容且 P(Bi)0， i=1,…, n （ 2） SBnii ???1事件 B1,… Bn,為樣本空間的一個劃分 則對任何事件 A， 均有 )|()()(1inii BAPBPAP ???上式稱為全概率公式 則稱事件 B1,… Bn,為樣本空間的一個劃分 定理 SBnii ???1 ???????))(()(11jiniiniiABABABBAASA ?????niiABPAP1)()( )()(1inii BAPBP ?? ??)( ABP k )()(APABP k???? niiikkBAPBPBAPBP1)()()()(Bayes公式 全概率公式 167。 事件的獨立性 例 已知袋中有 5只紅球 , 3只白球 .從袋中 有放回地取球兩次， 設(shè)第 i 次取得白球為 求 事件 Ai ( i =1, 2 ) . ,)( 12 AAP ,)( 12 AAP,)(,)( 21 APAP解 ,8/3)( 12 ?AAP,8/3)( 12 ?AAP,)(8/3)( 21 APAP ??)()()( 12212 AAPAPAAP ??一． 事件的獨立性 事件 A1 發(fā)生與否對 A2 發(fā)生的概率沒有影響 )()()()8/3()( 2121221 APAAPAPAAP ???定義 設(shè) A , B 為兩事件，若 )()()( BPAPABP ?則稱 事件 A 與事件 B 相互獨立 可視為 事件 A1與 A2相互獨立 ? 四對事件 BABABABA ,。,。,。,任何一對相互獨立 ,則其它三對也相互獨立 試證其一 獨立獨立 BABA , ?事實上 )()()()( BAPAPBAAPABP ????? ? )()()(1)( BPAPBPAP ???)()()( BPAPAP ??第一章復(fù)習要點 ? 隨機試驗 樣本空間 隨機事件 基本事件 ? 頻率 概率 古典概型 A的對立事件及其概率 互不相容事件的和事件的概率 加法公式 ? 條件概率 概率的乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 ? 事件的獨立性 n重貝努利試驗 隨機變量 離散型 連續(xù)型 分布函數(shù) 性質(zhì) 分布率 表示方法 兩者聯(lián)系 兩點 二項 兩者聯(lián)系 泊松 密度函數(shù) 兩者聯(lián)系 均勻 指數(shù) 正態(tài) 密度圖形 N(? ,?2) 參數(shù)意義 N(0,1) 隨機變量的函數(shù) 公式方法一般方法 正態(tài)標準化 第二章 復(fù)習提綱 第二章 隨機變量及其分布 為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用 數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨 機試驗的不同結(jié)果 例 電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用 一個變量 X 來描述 例 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以 用一個變量來描述 ????反面向上正面向上,0,1)( ?X 有了隨機變量 ,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來 . 二、引入隨機變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次