[工學(xué)]吳大正信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第5章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析(已修改)
2025-01-31 11:14 本頁(yè)面
【正文】 第 1 頁(yè) 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的 s域分析 頻域分析 以 虛指數(shù)信號(hào) ejωt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和 ,使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化，物理意義清楚 ,但也有不足： （ 1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如 e2tε(t)。 （ 2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章 ,把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域，解決以上問題。 本章引入 復(fù)頻率 s = ζ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù) est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是 復(fù)頻率 s ，故稱為 s域分析 。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。 第 2 頁(yè) 167。 拉普拉斯變換 ? 從傅里葉變換到拉普拉斯變換 ? 收斂域 ? 單邊拉普拉斯變換 ? 常見函數(shù)的拉普拉斯變換 ? 單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 第 3 頁(yè) 一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換 相應(yīng)的傅里葉逆變換 為 ? ? ??? ?? ???? ?? de)(2 1)( tjbt jFetfFb(?+j?)= ?[ f(t) e?t]= ttfttf tjtjt de)(dee)( )(?? ? ?? ??? ?? ?? ? ????? ??? ??? ???? ?? de)(2 1)( )( tjb jFtf 令 s = ? + j?,d ?=ds/j，有 f(t) ，適當(dāng)選取 ?的值，使乘積信號(hào) f(t) e?t當(dāng) t?∞時(shí)信 困難，為此，可用一衰減因子 e?t(?為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào) 號(hào)幅度趨近于 0 ，從而使 f(t) e?t的傅里葉變換存在。 第 4 頁(yè) 定義 ? ??? ?? tetfsF stb d)()(? ?? ??? jj de)(j2 1)( ??? ssFtf stb雙邊拉普拉斯變換對(duì) Fb(s)稱為 f(t)的雙邊拉氏變換（或 象函數(shù) ）； f(t)稱為 Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或 原函數(shù) ）。 第 5 頁(yè) 二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)??值才能使積分收斂，信號(hào) f(t)的 下面舉例說明 Fb(s)收斂域 的問題。 雙邊拉普拉斯變換存在。 使 f(t)拉氏變換存在 ?的取值范圍稱為 Fb(s)的收斂域。 第 6 頁(yè) 例 1 因果信號(hào) f1(t)= e?t ?(t) ，求拉氏變換。 解 ]eel i m1[)(1)(edee)( j)(0)(01ttttssttb sstsF????????????????? ??????? ?????????????????????，無(wú)界，不定]Re[,1ss可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=??時(shí)，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。 σjω0 α收斂域 收斂邊界 第 7 頁(yè) 例 2 反因果信號(hào) f2(t)= e?t?(t) ，求拉 氏 變換。 解 ]eel i m1[)( 1)(edee)( j)(0)(02ttttssttb sstsF???????????????????? ???????? ??????????????????????，不定無(wú)界)(1]Re [,ss可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=??時(shí)，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。 σjω0 β第 8 頁(yè) 例 3 雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。 ????????0,e0,e)()()(213 tttftftftt??求其拉普拉斯變換。 解 其雙邊拉普拉斯變換 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s) 僅當(dāng) ??時(shí)，其收斂域?yàn)? ?Re[s]?的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。 σjω0 βα第 9 頁(yè) 例 4 求下列信號(hào)的 雙邊拉普拉斯變換。 f1(t)= e3t ?(t) + e2t ?(t) f2(t)= – e 3t ?(–t) – e2t ?(–t) f3(t)= e 3t ?(t) – e2t ?(– t) 解 2131)()(11 ?????? sssFtf Re[s]= ? – 2 2131)()(22 ?????? sssFtf Re[s]= ? – 3 2131)()(33 ?????? sssFtf – 3 ? – 2 可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。 雙邊拉氏變換必 須標(biāo)出收斂域。 第 10 頁(yè) 通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí) ? ?? ?? 0 de)()( ttfsF st稱為 單邊拉氏變換 ，簡(jiǎn)稱 拉氏變換 。 刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣， t0時(shí)， f(t)=0。從而拉氏變換 式寫為 其收斂域一定是 Re[s]? ， 可以省略。 本課程主要討論 單邊拉氏變換 。 第 11 頁(yè) 三、單邊拉氏變換 ? ?? ?? 0d e f de)()( ttfsF st)(de)(j2 1)( jjd e ftssFtf st ?? ?? ??????? ? ????簡(jiǎn)記為 F(s)=163。 [f(t)] f(t)=163。1[F(s)] f(t)←→ F(s) 第 12 頁(yè) 四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 ? ?? ?? 0d e f de)()( ttfsF st? ? ?? ?0 1)( dtet st?00)(01)( 000ssdtedteetetsssttsts???? ??? ??? ?????? ?(t) ←→1 ， ? ∞ ?(t) ←→ 指數(shù)函數(shù) es0t ε(t)←→ 01ss? ? Re[s0] 指數(shù)函數(shù) es0t ←→ 01ss? ? Re[s0] 第 13 頁(yè) 常見函數(shù)的拉普拉斯變換 ? ?? ?? 0d e f de)()( ttfsF st若 s0 為實(shí)數(shù)，且 s0 =177。 a(a0) , 則 aaste at ??? ?? 1)( aaste at ????? ?? 1)( ?(t)或 1 ←→1/s ， ? 0 若 s0 為虛數(shù)，且 s0 =177。 jβ， 則 01)( ??? ???? jste tj01)( ???? ???? jste tj第 14 頁(yè) 常見函數(shù)的拉普拉斯變換 cos?0t = (ej?0t+ ej?0t )/2 ←→ 202 ??sssin?0t = (ej?0t– ej?0t )/2j ←→ 2020???s第 15 頁(yè) 常見函數(shù)的拉普拉斯變換 周期信號(hào) fT(t) ? ?????????????????0)1(200de)(.. .. .de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsF??? ??????? ???? T stTsTT stTnns T ttfttfnTtt000 de)(e11de)(e令特例： ?T(t) ←→ 1/(1 – esT) 第 16 頁(yè) 五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 ? ? ?? 0 de)()( ttfsF stRe[s]?0 ?????? ttfF t de)()(j j ??要討論其關(guān)系， f(t)必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo) ?0的值可分為以下三種情況 ： （ 1） ?00，即 F(s)的收斂域包含 j?軸，則 f(t)的傅里葉變換存在，并且 F(j?)=F(s)? s=j? 如 f(t)=e2t?(t) ←→F(s)=1/(s+2) , ?2； 則 F
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