線性系統(tǒng)的頻域分析(已修改)
2025-05-12 05:22 本頁面
【正文】 自動(dòng)控制原理 浙江理工大學(xué) “自動(dòng)控制原理”精品課程課題組 浙江省精品課程 第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析 ? 引言 ? 頻率特性 ? 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 ? 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制 ? 頻域 穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 ? 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo) ? Matlab在系統(tǒng)頻域分析中的應(yīng)用 引言 1. 為什么要對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析 ？ ? 時(shí)域分析法 ：從微分方程或傳遞函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) （ 和性能指標(biāo) ） 。 不利于工程研究之處： ?計(jì)算量大 ， 而且隨系統(tǒng)階次的升高而增加很大； ?對于高階系統(tǒng)十分不便 ， 難以確定解析解； ?不易分析系統(tǒng)各部分對總體性能的影響 ， 難以確定主要因素； ?不能直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)的主要特征 。 ? 頻域分析法 :是一種 間接 的研究控制系統(tǒng)性能的工程方法 。它研究系統(tǒng)的依據(jù)是 頻率特性 ， 頻率特性是控制系統(tǒng)的又一種 數(shù)學(xué)模型 。 2. 頻率響應(yīng) 、 頻率特性和頻域分析法 ? 頻率響應(yīng) :正弦輸入信號作用下 ， 系統(tǒng)輸出的 穩(wěn)態(tài)分量 。（ 控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成 ） ? 頻率特性 :系統(tǒng)頻率響應(yīng)和正弦輸入信號之間的關(guān)系 ， 它和傳遞函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性 。 ? 控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的性能 。 研究其的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是 Fourier變換 。 ? 頻域分析法 :利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法 。 3. 頻域分析法的優(yōu)點(diǎn) (1) 物理意義明確 。 對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng) ， 頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)有明確的對應(yīng)關(guān)系；對于高階系統(tǒng) ， 可建立近似的對應(yīng)關(guān)系 。 (2) 可以 用試驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ， 易于研究機(jī)理復(fù)雜或不明的系統(tǒng)；也適用于某些非線性系統(tǒng) 。 (3) 可以 根據(jù)開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的性能 ， 無需求解高次代數(shù)方程 。 這一點(diǎn) ， 與根軌跡法有異曲同工之妙 ， 只是前者的自變量是頻率 ω， 而后者的參數(shù)一般是開環(huán)增益 K。 (4) 能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響 ，從而進(jìn)一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑 。 (5) 采用 作圖方法 ， 計(jì)算量小 ， 且非常直觀 。 4 頻率特性的定義 ? 幅頻特性 ： LTI系統(tǒng)在正弦輸入作用下 ， 穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比 ， 用 A(ω)表示 。 ? 相頻特性 ：穩(wěn)態(tài) 輸出相位與輸入相位之差 ， 用 ?(ω)表示 。 ? 幅頻 A(ω)和相頻 ? (ω)統(tǒng)稱 幅相頻率特性 。 ( ) [ ( ) ] ( )t G j t G j? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?| ( ) |( ) | ( ) | c rrrA G j AA G jAA???? ? ?( ) ( )( ) | ( ) | ( ) j j G jA e G j e G j? ? ?? ? ????? 如果將輸入 、 輸出的正弦函數(shù)分別表示為 Arej0和Acejφ,則輸出與輸入的復(fù)數(shù)比為 ? 頻率特性 ： LTI系統(tǒng)正弦輸入作用下 ， 輸出 穩(wěn)態(tài)分量 和輸入的復(fù)數(shù)比 （ 也就是幅相頻率特性 ， 簡稱幅相特性 ） 。 ? 頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系 ： ( ) ( )0 ( ) | ( ) | jj j j G jccjrrA e A e A e G j eA e A?? ? ? ??? ?? ? ?()( ) ( ) | ( ) | j G jsjG s G j G j e?? ???? ???可見 ， 將傳遞函數(shù)中 s用 jω代替即得頻率特性表達(dá)式 。 控制系統(tǒng) 微分方程 傳遞函數(shù) 頻率特性 頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例 ， 是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù) ， 因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程 、 傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性 。 (1) 幅頻特性 、 相頻特性 、 幅相特性 ? A、 幅頻特性曲線 以頻率 ω為橫坐標(biāo) ， 以幅頻 A(ω)為縱坐標(biāo) ， 畫出 A(ω)隨頻率 ω變化的曲線 。 ? B、 相頻特性曲線 以頻率 ω為橫坐標(biāo) ， 以幅頻 ?(ω)為縱坐標(biāo) ， 畫出 ?(ω)隨頻率 ω變化的曲線 。 圖 52 RC電路的幅頻和相頻特性 ? ( 弧 度 ??1 / ? 4 / ?3 / ?2 / ? 5 / ??1 / ? 4 / ?3 / ?2 / ? 5 / ?221()1A ?????( ) a r c ta n ( )? ? ? ???ω 0 1/2τ 1/τ 2/τ 3/τ 4/τ 5/τ ∞ A(ω) 1 0 ?(ω)176。 0 45 76 90 ? C、 幅相特性曲線 （ 極坐標(biāo)圖 ） —— Nyquist圖 ① 幅相特性曲線是將頻率 ω作為參變量 ， 將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上 。 圖上實(shí)軸正方向?yàn)橄嘟橇愣染€ ， 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正 。 （ 復(fù)數(shù)表示 、極坐標(biāo)圖 ） ② 將 G(jω)分為實(shí)部和虛部 (代數(shù)表示 )， 即 ()( ) ( ) ( ) ( )jG j G j e X j Y??? ? ? ?? ? ?X(ω)和 Y(ω)分別稱為 實(shí)頻特性 和 虛頻特性 。 取橫坐標(biāo) X(ω) ， 縱坐標(biāo)表示 Y(ω) ， 也可得到系統(tǒng)的幅相曲線 (實(shí)虛頻圖 )。 圖 53 RC電路的乃氏圖 01()jY ?()X ?? ??()??()A ? 0? ?ω 0 1/2τ 1/τ 2/τ 3/τ 4/τ 5/τ ∞ A(ω) 1 0 ?(ω)176。 0 45 76 90 (2)對數(shù)頻率特性 —— Bode圖 ? 在工程實(shí)際中 ， 常常將頻率特性畫成對數(shù)坐標(biāo)圖形式 ， 這種對數(shù)頻率特性曲線又稱 Bode圖 ， 由 對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性 組成 。 ? Bode圖的橫坐標(biāo)按 lgω分度 （ 10為底的常用對數(shù) ） ，即對數(shù)分度 ， 單位為弧度 /秒 （ rad/s） ? 對數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按 線性分度 ， 單位是分貝 （ dB） 。 ? 對數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo) 按 ?(ω)線性分度 ， 單位是度 。 ? 由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為 半對數(shù)坐標(biāo)系 。 ( ) 2 0 l g ( ) 2 0 l g ( )L G j A? ? ????對數(shù)分度和線性分度 圖 54 對數(shù)分度和線性分度 0 1 081 4 5 6 72 3 9?1 081 4 5 6 72 3 9 1 0 08 04 0 5 0 6 02 0 3 0??0一 倍 頻 程 一 倍 頻 程 一 倍 頻 程一 倍 頻 程十 倍 頻 程十 倍 頻 程 十 倍 頻 程L（ a ) 線 性
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