【正文】 第一部分 : 線性系統(tǒng)時間域理論 第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)和狀態(tài)空間 線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學模型為系統(tǒng)描述 ,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運動和特性的一種理論和方法。 系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學描述 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?1/4,1/50 (1).系統(tǒng)的外部描述 外部描述常被稱作為輸出 — 輸入描述 例如 .對 SISO線性定常系統(tǒng) :時間域的外部描述 : ubububyayayay nnnnn 0)1(1)1(10)1(1)1(1)( ???????? ???? ??復頻率域描述即傳遞函數(shù)描述 01110111)()()(asasasbsbsbsusysgnnnnn???????????????(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式 ,需要由兩個數(shù)學方程表征 ,—— 狀態(tài)方程和輸出方程 (3)外部描述和內(nèi)部描述的比較 一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述 ,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分 . 內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述 ,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學特性 . 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?2/4,2/50 基本概念 定義 (1)狀態(tài)： 系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況 (2)狀態(tài)變量： 能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的 最小一組變量： ? ?0 0(). ttx t x ta ? ? 表示系統(tǒng) 時刻的狀態(tài) 0t. b 0tt? ??tu0tt?當 時的輸入 給定，且上述 時的行為 狀態(tài)確定時，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng) 初始 在 2u1upuqy2yqynxxx , 21 ?(5)狀態(tài)方程 ：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系 的、一階微分方程（組）： ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11, , . nTnx t L x tx t x t L x t?作為分量的向量，即 (3) 狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的 個獨立狀態(tài)變量 n為 ? ? ? ?1 , nx t x t (4) 狀態(tài)空間 : 以狀態(tài)變量 n 維空間。 標軸構(gòu)成的 坐 ( ) ( ) ( )y t C x t Du t??輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān) 系的數(shù)學表達式： (6) (7)狀態(tài)空間表達式： (5)+ (6). 狀態(tài)變量的特點： (1)獨立性：狀態(tài)變量之間線性獨立 . (2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實 際上存在無窮多種方案 . (3) 等價性：兩個狀態(tài)向量之間只差一個非奇異 變換 . (4)現(xiàn)實性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量 . (5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義 . 狀態(tài)空間表達式的一般形式： (1)線性系統(tǒng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x t A t x t B t u t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y t C t x t D t u t??,nxR? ,puR? qyR? 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(te?1RLCcU2R 2RULiCi????????????edtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc112 0eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc????????????????????????????????????????????????????????????????????????2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1??以上方程可表為形如 DuCXYBuAXX?????描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的 狀態(tài)空間表達式（動態(tài)方程或運動方程），包括 狀態(tài)方程 （描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程 （描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。 1/7,5/50 機電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(teaRaLconstif ?FJ,? ??????????????????????????????????????????????????????????aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001??上式可表為形如 DuCXYBuAXX?????2/7,6/50 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 1u2upu1x2xnx? ??1y2yqy動力學部件 輸出部件連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性時不變系統(tǒng) ???????DuCXYBuAXX? 線性時變系統(tǒng) ???????utDXtCYutBXtAX)()()()(?3/7,7/50 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖 )(tB ? )(tC)(tD?X?YUX)(tA4/7,8/50 人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例 假設某個國家 ,城市人口為 107,鄉(xiāng)村人口為 9x107,每年 4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村 , 2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市 ,整個國家的人口的自然增長率為 1% 設 k為離散時間變量 , x1(k)、 x2(k)為第 k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口 , u(k)為第 k年所采取的激勵性政策控制手段 ,設一個單位正控制措施可激勵 5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村 ,而一個單位負控制措施會導致 5x104鄉(xiāng)村人口去城市 , y(k)為第 k年全國人口數(shù) )()()()()1()()()()()1(41224211kukxkxkxkukxkxkx??????????????????寫成矩陣形式 ? ?)()()()()()1()()(11)()()()()1()1(21442121kDukCxkykHukGxkxkxkxkykukxkxkxkx???????????????????????????????????????????亦可表為5/7,9/50 離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間描述形式 離散時間線性時不變系統(tǒng) )()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX?????傳輸矩陣陣輸出矩陣陣輸入矩陣陣系統(tǒng)矩陣陣::::DpqCnqHpnGnn????離散時間線性時變系統(tǒng) )()()()()()()()()()1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX?????6/7,10/50 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點： 一是 :狀態(tài)方程形式上的差分型屬性（即： 狀態(tài)方程為差分方程 。） 二是 :描述方程的線性屬性。（狀態(tài)方程和輸出方程的右端，對狀態(tài) x和輸入 u都 呈現(xiàn)為線性關(guān)系。） 三是 :變量取值時間的離散屬性（ 所有變量只能在離散時刻 k取值 ）。 離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖 )(kH )(kC)(kD?)1( ?kx)(ky)(ku)(kx)(kG單位延遲??7/7,11/50 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 設系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ),(),(tuxgytuxfx???向量函數(shù) ????????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn??，若 f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個組成元素為 x、 u的非線性函數(shù) ,該系統(tǒng)稱為 非線性系統(tǒng) 。 若 f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為 x、 u的線性函數(shù) ,該系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng) 對于線性系統(tǒng) ???????utDXtCYutBXtAX)()()()(?非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)。 1/2,12/50 時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng) 若向量 f,g不顯含時間變量 t,即 ?????),(),(uxgguxff 該系統(tǒng)稱為 時不變系統(tǒng) 若向量 f,g顯含時間變量 t,即 ?????),(),(tuxggtuxff 該系統(tǒng)稱為 時變系統(tǒng) 連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng) 當且僅當系統(tǒng)的輸入變量 ,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點 ,反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程 ,該系統(tǒng)稱為 連續(xù)時間系統(tǒng) 當且僅當系統(tǒng)的輸入變量 ,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點 ,反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程 ,該系統(tǒng)稱為 離散時間系統(tǒng) . 確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng) 稱一個系統(tǒng)為 確定性系統(tǒng) ,當且僅當不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動 ,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的 . 稱一個動態(tài)系統(tǒng)為 不確定性系統(tǒng) ,或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性 ,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機變量 2/2,13/50 由系統(tǒng)輸入輸出描述導出狀態(tài)空間描述 由輸入輸出描述導出狀態(tài)空間描述 對于單輸入 ,單輸出線性時不變系統(tǒng) ,其微分方程描述 ububububyayayay mmmmnnn 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)( ????????? ???? ??其傳遞函數(shù)描述 011101111)( )()( asasas bsbsbsbsU sYsgnnnmmmm????????????????可以導出其狀態(tài)空間描述為 1111 ???? ?????????RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn?1/18,14/50 結(jié)論 1 給定單輸入 ,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述 , ububububyayayay mmmmnnn 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)( ????????? ???? ??其對應的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導出 011101111)( )()( asasas bsbsbsbsU sYsgnnnmmmm????????????????(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形 ? ? ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn??????????????????????????????????????????????)(,),(),(100010000000101111001210??????????證明 ：設 zazazu nnn 0)1(1)( ???? ?? ?2/18,15/50 )()()(0)1(1)(0)1(0)1(1)(