【正文】 1 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 第一章 緒論 第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理 第三章 誤差的合成與分配 第四章 測量不確定度 第五章 線性參數(shù)的最小二乘法 第六章 回歸分析 2 課程目的 正確認(rèn)識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因 減小或抑制誤差 正確處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果 給出科學(xué)可信的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計、選用儀器或測量方法 根據(jù)目標(biāo)確定最佳方案 3 先修課程： 線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、電路理論、電子電工實(shí)驗(yàn)等 . 課程目標(biāo)： 對誤差理論體系有一個全面的把握；掌握誤差的概念、性質(zhì)及分類方法；通過對固定量測量數(shù)據(jù)的處理學(xué)習(xí)誤差處理的基本方法；能利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計。掌握線性回歸方法處理測量數(shù)據(jù)；能將以上理論運(yùn)用于具體測量實(shí)踐。 教材 《 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 》 （第 6版） 費(fèi)業(yè)泰等 機(jī)械工業(yè)出版社 門捷列夫 (18341907) 科學(xué)始于測量 ,沒有測量，便沒有精密的科學(xué) 。 門捷列夫 研究誤差的意義 錢學(xué)森 信息技術(shù)包括測量技術(shù)、計算機(jī)技術(shù)和通信技術(shù)，測量技術(shù)是信息技術(shù)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。 錢學(xué)森 (1911 ) 研究誤差的意義 6 第一章 緒論 ? 研究誤差的意義 誤差的基本概念 誤差與精度 有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算 7 第一章 緒論 ?第一節(jié) 研究誤差的意義 第二節(jié) 誤差的基本概念 誤差的定義 誤差的分類 誤差的來源 8 誤差 絕對 誤差 相對 誤差 粗大 誤差 系統(tǒng) 誤差 隨機(jī) 誤差 表示形式 性質(zhì)特點(diǎn) 誤差 測得值 真值 ＝ － 一、誤差的定義及表示法 9 引用誤差 （ Fiducial Error of a Measuring Instrument） 定義 該標(biāo)稱范圍（或量程）上限 最大引用誤差 儀器某標(biāo)稱刻度值處的絕對誤差 mmmxrx??引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，又稱為引用相對誤差。 最大引用誤差：引用標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又滿度誤差。 最大引用誤差：被用來確定儀表的 等級精度 iimxrx??儀器標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對誤差 10 主要來源 測量方法誤差 測量裝置誤差 測量環(huán)境誤差 測量人員誤差 二、誤差的來源 誤差的起因 : 測量過程中，由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，人們認(rèn)識能力所限，實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)和被測量的真值之間存在差異。 11 三、誤差分類 系統(tǒng)誤差 （ Systematic Error） 在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。 定義 特征 在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變， 或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。 12 按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為 誤差絕對值和符號已經(jīng) 明確 的系統(tǒng)誤差。 已定系統(tǒng)誤差： 例： 直尺的刻度值誤差 誤差絕對值和符號未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計出誤差范圍。 未定系統(tǒng)誤差： 按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為 誤差絕對值和符號 固定不變 的系統(tǒng)誤差。 不變系統(tǒng)誤差： 誤差絕對值和符號 變化 的系統(tǒng)誤差。 按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。 變化系統(tǒng)誤差： 13 隨機(jī)誤差（ Random Error） 測得值 與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次測量結(jié)果的 平均值之差 。又稱為偶然誤差。 定義 特征 在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差。 產(chǎn)生原因 實(shí)驗(yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動等。 隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見，不可修正。 大量的重復(fù)測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循 某種統(tǒng)計規(guī)律 的。因此，可以用概率統(tǒng)計的方法處理含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，對隨機(jī)誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。 隨機(jī)誤差的性質(zhì) 14 粗大誤差（ Gross Error） 指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。 定義 產(chǎn)生原因 某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。 ? 測量方法不當(dāng)或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等） ? 測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動等）。 由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。 15 三類誤差的關(guān)系及其對測得值的影響 標(biāo)準(zhǔn)差 期望值 均值 某次測得值 奇異值 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不能混淆的。但在測量實(shí)踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應(yīng)根據(jù)所考察的實(shí)際問題和具體條件，經(jīng)分析和實(shí)驗(yàn)后確定。 fx ( )_3 3+16 第三節(jié) 誤差與精度 測量結(jié)果中 系統(tǒng)誤差 的影響程度 準(zhǔn)確度 （ Correctness） 測量結(jié)果中 隨機(jī)誤差 的影響程度 精密度 （ Precision） 精確度 （ Accuracy ） 表示測量結(jié)果與被測量真值之間的一致程度。就誤差分析而言，精確度是測量結(jié)果中 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差 的綜合，誤差大，則精確度低，誤差小，則精確度高。 精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分?jǐn)?shù)。如某一測量結(jié)果的相對誤差為 %，則其精度為 105。 17 準(zhǔn)確度、精密度和精確度三者之間的關(guān)系 ( a )( b ) ( c )彈著點(diǎn)全部在靶上，但分散。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即精密度低，準(zhǔn)確度高。 彈著點(diǎn)集中，但偏向一方，命中率不高。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即精密度高，準(zhǔn)確度低。 彈著點(diǎn)集中靶心。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差均小，即精密度、準(zhǔn)確度都高，從而精確度高。 18 第四節(jié) 有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算 一、有效數(shù)字 ? 測量精度有限 ? 最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測量精度同一量級 ? 可靠數(shù)字 + 一位存疑數(shù)字 = 有效數(shù)字 ? 有效位數(shù)是該數(shù)中有效數(shù)字的個數(shù)。指從該數(shù)左方第一個非零數(shù)字算起到最末一個數(shù)字（包括零）的個數(shù)，它不取決于小數(shù)點(diǎn)的位置 。 例如： （ 3位） （ 2位） （ 3位） ?103 ?103 ? 正確表示： （ ? ） mm （ ? ） mm 19 二、數(shù)字舍入規(guī)則 計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進(jìn)行取舍時，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行湊整： 1. 若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)加 1。 2. 若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)減 1。 3. 若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個單位， 則末位湊成偶數(shù) ，即當(dāng)末位為偶數(shù)時則末位不變，當(dāng)末位是奇數(shù)時則末位加 1。 20 三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則 1. 在近似數(shù)運(yùn)算時，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有殘余運(yùn)算的數(shù)字，在有效數(shù)字后可多保留一維數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。 2. 在近似數(shù)做加減運(yùn)算時，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。 3. 在近似數(shù)乘除運(yùn)算時，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。 4. 在近似數(shù)平方或開方運(yùn)算時，近似數(shù)的選取與乘除運(yùn)算相同。 5. 在對數(shù)運(yùn)算時， n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應(yīng)該用 n位對數(shù)表，或用（ n+1）位對數(shù)表，以免損失精度。 6. 三角函數(shù)運(yùn)算時，所取函數(shù)值的位數(shù)應(yīng)隨角度誤差的減小而增多 21 第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 第二節(jié) 系統(tǒng)誤差 第三節(jié) 粗大誤差 第四節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 22 第一節(jié) 隨機(jī)誤差 一 、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因 二、隨機(jī)誤差的分布及其特性 三、算術(shù)平均值 四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差 五、測量的極限誤差 六、不等精度測量 七、隨機(jī)誤差的其他分布 23 一 .隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因 誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律 統(tǒng)計規(guī)律 二 .正態(tài)分布 22( 2 )1()2fe???????22 ()fd? ? ? ????? ?4()5fd? ? ? ? ???????1()2fd???????24 三 .算術(shù)平均值 設(shè) 為 n次測量所得的值，則算術(shù)平均值 為： 12, , ..., nl l l x1 2 1...ninill l lxnn?? ? ????iiv l x??式中： —— 第 個測得值， ＝ 1， 2， … ， n。 —— 的 殘余誤差 （簡稱殘差）。 ili iiv il0iilL? ??隨機(jī)誤差： 25 正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布密度 22 2 21 2 1...inninn?? ? ?? ?? ? ????四 .測量的標(biāo)準(zhǔn)差 22( 2 )1()2fe???????211inivn? ???? （ Bessel公式） 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 x n?? ?26 五 .測量的極限誤差 22( 2 )1 12ed?? ?????????2202( ) ( ) 2 ( )2t tP P t e d t t????? ?? ? ? ? ? ??t：置信系數(shù)； P:置信概率或置信水平 l im xxt????27 各個測量結(jié)果的可靠程度 p六 .不等精度測量 最簡單確定權(quán)的方法：按測量的次數(shù)確定權(quán)。 前提：測量條件和測量水平皆相同。 iipn?ixin?? ?1212 2 2 21 1 1: : .. . : : : .. . :mmx x xp p p ? ? ??結(jié)論：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比。 28 加權(quán)算術(shù)平均值 11miiimiipxxp????? iiz p x? 若將不等精度測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時得到的新值 的權(quán)數(shù)就為 1。 ip zix29 用 代替 代入等精度測量的公式得： ii xpv iv211imi xipvm? ???? 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： 211( 1 )imi ximxiipvmp? ??????等精度測量列的殘余誤差 等精度測量列的測量結(jié)果 已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為： ， 將各組 單位權(quán)化得： i ii i ixp v