總體與樣本ppt課件(2)(已修改)
2025-01-29 17:03 本頁(yè)面
【正文】 167。 總體與樣本 一、總體 一般我們把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體），而把每一個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體 . 例如，在研究某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量時(shí)，該廠生產(chǎn)的燈泡全體構(gòu)成的一個(gè)總體，其中每只燈泡都是個(gè)體；研究某班高等數(shù)學(xué)課程的成績(jī)時(shí)，該班每個(gè)同學(xué)都是個(gè)體，全體同學(xué)構(gòu)成一個(gè)總體 . 在實(shí)際問(wèn)題中，人們主要關(guān)心的往往是研究對(duì)象的某個(gè)（或某些）數(shù)量指標(biāo)及其在總體中的分布情況 . 如研究燈泡的質(zhì)量時(shí)，關(guān)注的是燈泡的使用壽命這一指標(biāo)；在研究大學(xué)生的體質(zhì)時(shí)，則主要關(guān)心的是大學(xué)生的身高、體重、視力等指標(biāo) . 由于每個(gè)個(gè)體都有一個(gè)（或多個(gè)）數(shù)量指標(biāo)值，那么，所有個(gè)體的這些指標(biāo)值就形成一個(gè)集合，該集合包含了研究指標(biāo)在總體中的所有可能取值． 比如，某廠燈泡的壽命指標(biāo)，其所有可能的取值就是所有具體燈泡壽命值；某班的高等數(shù)學(xué)成績(jī)這一指標(biāo)的取值就是該班所有同學(xué)的高等數(shù)學(xué)成績(jī)．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們關(guān)心的并不是每個(gè)個(gè)體的具體指標(biāo)特征，而關(guān)心的正是象某廠燈泡壽命、某班高數(shù)成績(jī)這樣的總體指標(biāo)特征．要研究總體的指標(biāo)，就要進(jìn)行試驗(yàn)或觀察． 由于預(yù)先不知道觀察到的是哪個(gè)個(gè)體，因而觀察到的相應(yīng)指標(biāo)值也就不能預(yù)先確定，完全是隨機(jī)的，這樣，總體的指標(biāo)就是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布完全描述了指標(biāo)在總體中的分布狀況．于是，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中就把 總體 定義為服從某一分布的隨機(jī)變量 X（數(shù)量指標(biāo)），其概率分布稱為 總體的分布 ，而每個(gè) 個(gè)體 對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量 X一個(gè)具體觀察值．前面談到的所有個(gè)體的指標(biāo)值集合就是總體 X的所有可能取值的集合． 二、樣本 我們知道，研究總體離不開(kāi)研究它的體．但在許多實(shí)際問(wèn)題中，不可能對(duì)所有個(gè)體逐一進(jìn)行研究，而只能從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀察（或試驗(yàn)），根據(jù)對(duì)這部分個(gè)體的觀察結(jié)果來(lái)推斷總體的分布情況． 一般地，如果從總體中按一定規(guī)則抽取 n個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀察（或試驗(yàn)），則稱這 n個(gè)個(gè)體為總體的一個(gè) 樣本 （ Sample），樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n稱為 樣本容量 （ Sample Size），抽取一個(gè)樣本的過(guò)程稱為 抽樣 （ Sampling）． 本書(shū)所涉及的抽樣均指隨機(jī)抽樣，即，在具體的抽樣之前，哪些個(gè)體被抽取，不能預(yù)先確定而應(yīng)由觀察（或試驗(yàn)）來(lái)定．如果用 表示樣本中的第 i個(gè)個(gè)體的數(shù)量指標(biāo) ，那么一個(gè)容量為 n的樣本就可以表示為 ，這是一個(gè)n維隨機(jī)向量．如果用 表示 的觀察值 ，那么， 便是樣本 的一個(gè)觀察值，稱其為 樣本觀察值 或 樣本值 ，它是一組具體的數(shù)據(jù)．今后，為了方便起見(jiàn)，記號(hào) 有時(shí)也表示樣本值，這可以從上下文的聯(lián)系來(lái)區(qū)分：如果在一次具體抽樣之前，那么， 表示樣本，它是一個(gè) n維隨機(jī)向量 iX),2 ,1( ni ??),( 21 nXXX ?ix ix ),2 ,1( ni ??),( 21 nxxx ? ),( 21 nXXX ?),( 21 nXXX ?),( 21 nXXX ?（這種情形多出現(xiàn)在理論研究或推導(dǎo)中）；如果在一次具體抽樣之后，則 表示樣本值，它是一個(gè)具體的數(shù)值向量（在實(shí)際應(yīng)用中就是這種情形） . 要想由樣本推斷總體，就應(yīng)當(dāng)使樣本既能夠反映出總體的特點(diǎn)，又便于數(shù)學(xué)上的處理．為此，要求樣本具有以下兩個(gè)特性： （ 1）同分布性，即，樣本 的各分量與總體 X有相同的分布； （ 2）獨(dú)立性，即，樣本 的各分量相互獨(dú)立． ),( 21 nXXX ?),( 21 nXXX ?),( 21 nXXX ? 我們把滿足以上兩個(gè)特性的樣本稱為 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ，把獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 的過(guò)程，稱為 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 . 由于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本實(shí)際上是由一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量構(gòu)成的，因此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣就是獨(dú)立地、重復(fù)地對(duì)總體 X做抽樣試驗(yàn) . 就具體的方法而言，有放回抽樣與不放回抽樣之分 . 對(duì)于有限總體（即總體中個(gè)體的數(shù)量有限），我們通常采用放回抽樣，這樣隨機(jī)抽取的樣本便是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；對(duì)于無(wú)限總體（即總體中個(gè)體的數(shù)量無(wú)限），放回抽樣與不放回抽樣幾乎沒(méi)什么差別，因此 通常采用不放回抽樣 . 在實(shí)用上，即使對(duì)有限總體 ，只要抽取的 ),( 21 nXXX ? 的個(gè)體數(shù)目 n與總體中個(gè)體的總數(shù)目 N之比 很小（通常要小于 ），仍可用不放回抽樣，這樣得到的樣本可近似地看成一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 . 今后，如不特別申明，我們所說(shuō)的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本． 由于樣本 的各分量獨(dú)立且每個(gè)分量的分布都與總體 X的分布相同，所以，對(duì)密度函數(shù) 為的連續(xù)型總體 X而言，樣本 的聯(lián)合密度函數(shù) . (61) Nn),( 21 nXXX ?)(xf),( 21 nXXX ????niin xfxxxf121 )(),( ? 而當(dāng)總體 X是離散型的且其概率函數(shù) （ ）時(shí)，樣本 的聯(lián)合
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