概率論2頻率與概率(已修改)
2025-01-24 14:19 本頁面
【正文】 二、概率的統(tǒng)計定義 一 、頻率 第二節(jié) 頻率與概率 三、概率的公理化定義 研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是 事件的概率 . 概率是隨機事件 發(fā)生可能性大小 的度量 事件發(fā)生的可能性 越大，概率就 越大！ 一、 頻率的定義 :頻率 , , A 次出現(xiàn)了事件次重復(fù)試驗中設(shè)在 nAn , A 比值次試驗中出現(xiàn)的頻數(shù)在為事件則稱 nAn , 記為次試驗中出現(xiàn)的頻率在為事件 nAnn A ? ?, Afn 即? ? . An nfA n? : 頻率所具有的三個性質(zhì)? ? ? ?1 0 1 。 ??nfA( 2 ) ( ) 1 。nf ??? ? , , , 3 2 則是兩兩互斥事件設(shè) kAAA ?1? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 n k n n n kf A A A f A f A f A? ? ? ? ? ? ? ? ?試驗者 拋幣次數(shù) n “正面向上”次數(shù) 頻率 德摩根 2084 1061 蒲豐 4040 2048 皮爾遜 12022 6019 皮爾遜 24000 12022 維尼 30000 14994 )(Afn拋擲錢幣試驗記錄 頻率有什么規(guī)律？ ? ? ? ?Af n , 的頻率正面向上出現(xiàn)從上表中可以看出 , 次但總的趨勢是隨著試驗的不同而變動雖然隨 n . 這個數(shù)值上數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在 定義 , 行大量的重復(fù)試驗在不變的一組條件下進 , 為隨機我們稱這個穩(wěn)定值的附近擺動的數(shù)值 pp , 即的概率事件 A ? ? . pAP ? 這個定義也稱為 . 概率的統(tǒng)計定義 可見 , 在大量重復(fù)的試驗中 ,隨機事件出現(xiàn)的 頻率具有穩(wěn)定性 .即通常所說的 統(tǒng)計規(guī)律性 . 隨機事件 A出現(xiàn)的頻率 會穩(wěn)定地在某個固定的 Ann二、概率的定義 概率的公理化定義 S , 是它的是隨機試驗設(shè) E? ? , AP , 賦予一個實數(shù)的每一個事件對于樣本空間 AE : , A 件如果它滿足下列三個條的概率稱之為事件? ? ? ? 。 0 1 ?AP ? ? 非負性? ? ? ? 。 1 2 ?SP ? ? 規(guī)范性? ? , 3 21 有對于兩兩互斥事件 ?AA? ? ? ? ? ? ??????? 2121 APAPAAP? ? 可列可加性 . 推得概率的下列性質(zhì)由概率的公理化定義可 1性質(zhì) ? ? 0 . P ?? 證 因為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 故由概率公件兩兩互斥由于上式右端可列個事 , 有理化定義的可列可加性? ? ? ?PP? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?P P P? ? ? ? ? ? ? ?, 再由概率的非負性可得? ? 0 . P ?? 2性質(zhì) , , 21 則兩兩互斥設(shè)有限個事件 nAAA ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 . nnP A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? 證 因為1 2 1 2nnA A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 1 有質(zhì)所以由可列可加性及性? ? ? ?1 2 1 2nnP A A A P A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 nP A P A P A P P? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12 0 0 nP A P A P A? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12 . nP A P A P A? ? ? ? 3 性質(zhì) , 有對于任何事件 A? ? ? ? . 1 APAP ?? 證 因為 , . A A AA? ? ? ? ?且 所以 ? ? ? ??PAAP ?? . 1? 并且 ? ? ? ? ? ?APAPAAP ??? , 由以上兩式可得 ? ? ? ? 1?? APAP 即 ? ? ? ? . 1 APAP ?? 4 性質(zhì) , , 則且為兩事件、設(shè) BABA ?? ? ? ? ? ? BPAPBAP ??? 證 , , 所以因為如圖 BA ??A BBA ?? ? B A B? ? ? 并且? ?BABA ??? , 2 可得于是由性質(zhì)? ? ? ? ? ?BAPBPAP ??? 也即 ? ? ? ? ? ? , BPAPBAP ??? 并且 ? ? ? ? . BPAP ? , 有又由概率的非負性 ? ? ? ? ? ? 0 ???? BPAPBAP 即 ? ? ? ? . BPAP ? 5 性質(zhì) , 都有對于任一事件 A? ? . 1?AP 證 , 都有因為對于任一事件 A??A , 4 可得故由性質(zhì)? ? ? ? . 1?? ?PAP 6 性質(zhì) , , 則為任意兩個事件設(shè) BA? ? ? ? ? ? ? ?ABPBPAPBAP ???? 證 , 如圖所示 ?BA ABBA? ? ?ABBA ??? 而且 ? ? A B A B? ? ? 所以 ? ?BAP ? ? ? ? ?ABBPAP ???? ? ? ? ? ? .
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