【正文】 解直角三角形 一． 選擇題 （ 2022 蘇州二模）如圖，把一張長(zhǎng)方形 卡片 ABCD 放在每格寬度為 12 mm 的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線(xiàn)上，已知 ? =36176。，求長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng) .(精確到 1 mm，參考數(shù)據(jù) : si n 36 , c os 36 , t a n 36 ? ? ? ? ? ?) 答案：解：長(zhǎng)方形卡片周長(zhǎng)為 200mm. （ 2022 齊河三模） 在 △ ABC 中，若＋ (1－ tanB)2＝ 0， 則 ∠ C 的度數(shù)是 ( ) A． 45176。 B． 60176。 C． 75176。 D． 105176。 答案： D 3. (2022山東棗莊模擬 )如圖，在半徑為 6cm 的 ⊙ O 中，點(diǎn) A 是劣弧 的中點(diǎn)，點(diǎn) D 是優(yōu)弧 上一點(diǎn)，且 ∠ D=30176。，下列四個(gè)結(jié)論： ①OA⊥ BC； ②BC=6 ； ③sin∠ AOB= ； ④四邊形 ABOC 是菱形． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ） A． ①③ B． ①②③④ C． ②③④ D． ①③④ 【考點(diǎn)】 垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【專(zhuān)題】 幾何圖形問(wèn)題． 【分析】 分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判 斷即可． 【解答】 解： ∵ 點(diǎn) A 是劣弧 的中點(diǎn)， OA 過(guò)圓心， ∴ OA⊥ BC，故 ①正確； ∵∠ D=30176。， ∴∠ ABC=∠ D=30176。， ∴∠ AOB=60176。， ∵ 點(diǎn) A 是劣弧 的中點(diǎn)， ∴ BC=2CE， ∵ OA=OB， ∴ OA=OB=AB=6cm， ∴ BE=AB?cos30176。=6 =3 cm， ∴ BC=2BE=6 cm，故 ②正確； ∵∠ AOB=60176。， ∴ sin∠ AOB=sin60176。= ， 故 ③正確； ∵∠ AOB=60176。， ∴ AB=OB， ∵ 點(diǎn) A 是劣弧 的中點(diǎn)， ∴ A C=AB， ∴ AB=BO=OC=CA， ∴ 四邊 形 ABOC 是菱形， 故 ④正確． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題． 二、填空題 （ 2022 齊河三模） 如圖，上體育課，甲、乙兩名同學(xué)分別站在 C、 D 的位置時(shí)，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲，乙同學(xué)相距 1 米 ,甲身高 米，乙身高 米，則甲的影長(zhǎng)是 _____ 米 . 答案： 6 （ 2022 齊河三模） 將一副三角尺按如圖所示方式放置，使含 30176。角的三角尺的短直角邊和含 45176。角的三角尺的一條直角邊重合，則 ∠ 1 的度數(shù)是 _____ ． 答案： 75176。 3. （ 2022廣東 深圳 一模） 如圖所示，太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成 60176。角，一棵傾斜的大樹(shù)與地面成 30176。角，這時(shí)測(cè)得大樹(shù)在地面上的影子約為 10 米，則大樹(shù)的高約為 10 米．（保留根號(hào)） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】 壓軸題；探究型． 【分析】 如圖，因?yàn)?60176。的角是 △ ABC 的一個(gè)外角，且 ∠ B 為 30176。已知，所以根據(jù)三角形外角和可知 ∠ CAB=30176。，即 AC=BC=10m，從而利用 △ ABD 求出 BD 的長(zhǎng)，即可求出 CD，利用 30176。角的余弦值，進(jìn)而求出 AB． 【解答】 解：如圖， 作 AD⊥ CD 于 D 點(diǎn)． ∵∠ B=30176。， ∠ ACD=60176。， ∠ ACD=∠ B+∠ CAB， ∴∠ CAB=30176。． ∴ BC=AC=10m， 在 Rt△ ACD 中， CD=AC?cos60176。=10=5m， ∴ BD=15． ∴ 在 Rt△ ABD 中， AB=BD247。cos30176。=15247。 =10 m． 故答案為： 10 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 4. （ 2022湖南 湘潭 一模） 如圖 1 是小志同學(xué)書(shū)桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖 2 所示的幾 何圖形， 已知 BC=BD=15cm ， ∠ CBD=40176。， 則點(diǎn) B 到 CD 的距離為 cm （參考數(shù)據(jù)： sin 20176。≈ ， cos 20176。≈， sin 40176?！?， cos 40176。≈ ．精確 到 ,可用科學(xué) 計(jì)算器）． 答案： 5. （ 2022黑龍江大慶一模） 如圖，等腰 △ ABC 中， AB=AC， tan∠ B= 43， BC=30， D 為BC 中點(diǎn)，射線(xiàn) DE⊥ AC． 將 △ ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A’，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B’），射線(xiàn) A’ B’分別交射線(xiàn) DA、 DE 于 M、 N．當(dāng) DM=DN 時(shí)， DM 的長(zhǎng)為 ________． ENMA39。AB D CB39。第 1 題 答案： 5+106 二． 解答題 1． (2022重慶銅梁巴川 一模）如圖，高 36 米的樓房 AB 正對(duì)著斜坡 CD，點(diǎn) E 在斜坡CD 的中點(diǎn)處，已知斜坡的坡角（即 ∠ DCG）為 30176。， AB⊥ BC． （ 1）若點(diǎn) A、 B、 C、 D、 E、 G 在同一個(gè)平面內(nèi)，從點(diǎn) E 處測(cè)得樓頂 A 的仰角 α為 37176。，樓底 B 的俯角 β為 24176。，問(wèn)點(diǎn) A、 E 之間的距離 AE 長(zhǎng)多少米？（精確到十分位） （ 2）現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn) E 處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線(xiàn) BC 的平臺(tái) EF 和一條新的斜坡 DF，使新斜坡 DF 的坡比為 ： 1．某施工隊(duì)承接這項(xiàng)任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實(shí)際工作效率提高到原計(jì)劃的 倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前 2 天完成任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建多少米？ （參考數(shù)據(jù)： cos37176。≈， tan37176?！郑?tan24176?！郑?cos24176?！郑? 【分析】 （ 1）延長(zhǎng) FE 交 AB 于 M，設(shè) ME=x，根據(jù)直角三角形函數(shù)得出 AM=tanα?x，BM=tanβ?x，然后根據(jù) tanα?x+tanβ?x=36，即可求得 EM 的長(zhǎng)，然后通過(guò)余弦函數(shù)即可求得AE； （ 2）根據(jù) BM=NG=DN，得到 DN 的長(zhǎng)，然后解直角三角形函數(shù)求得 EN 和 FN，進(jìn)而求得 EF 和 DF 的長(zhǎng)，然后根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得． 【解答】 解：（ 1）延長(zhǎng) FE 交 AB 于 M， ∵ EF∥ BC， ∴ MN⊥ AB， MN⊥ DG， 設(shè) ME=x， ∴ AM=tanα?x， BM=tanβ?x， ∵ AB=36， ∴ tanα?x+tanβ?x=36， ∴ tan37176。x+tan24176。x=36， +=36， 解得 x=30， ∴ AE= = ≈（米）； （ 2）延長(zhǎng) EF 交 DG 于 N， ∵ GN=BM=tan24176。?30=， DE=CE， EF∥ BC， ∴ DN=GN=（米）， ∵∠ DCG=30176。， ∴∠ DEN=30176。， ∴ EN=DN?cot30176。= ， ∵ = ， ∴∠ DFN=60176。， ∴∠ EDF=30176。， FN=DN?cot60176。= ， ∴ DF=EF=EN﹣ FN= ， ∴ EF+DF=27 =18 ， 設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建 y 米， 根據(jù)題意得， = +2， 解得 x=3 （米）， 經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根， 答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建 3 米． 2． (2022山西大同 一模）（ 1）如圖，在 △ ABC 中用直尺和圓規(guī)作 AB 邊上的高CD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法） . （ 2）圖中的實(shí)線(xiàn)表示從 A 到 B 需經(jīng)過(guò) C 點(diǎn)的公路，且 AC=10km， ∠ CAB=25176。， ∠ CBA=37176。. 現(xiàn)因城市改造需要在 A、 B 兩 地之間改建一條筆直的公路。問(wèn)：公路改造后比 原來(lái)縮短了多少千米？ (參考數(shù)據(jù)： sin25176。≈，cos25176?！郑?sin37176?！郑?tan37176。≈， 結(jié)果精確到 ) 答案： （ 1）圖略 （ 2）在 Rt△ ACD 中 CD=ACsin25176。= AD=ACcin25176。= 在 Rt△ BCD 中 BD=CD247。tan37176。= AB=AD+DB= BC=CD247。sin37176。= ∴ AC+BCAB= 3． (2022四川峨眉 二模 ） 如圖 ， 兩座建筑物 AB 與 CD ， 其地面距離 BD 為 60 米 ，E 為 BD 的中點(diǎn) ， 從 E 點(diǎn)測(cè)得 A 的仰角為 30? ， 從 C 處測(cè)得 E 的俯角為 60? ， 現(xiàn)準(zhǔn)備在點(diǎn) A 與點(diǎn) C 之間拉一條繩子掛上小彩旗 （ 不計(jì)繩子彎曲 ）， 求繩子 AC 的長(zhǎng)度 .（ 結(jié)果保留一位小數(shù) ， 2 ? ， 3 ? ） 答案： 解：連結(jié) AC ， ∵ BD =60 ， E 為 BD 的中點(diǎn)， ∴ 1 302B E D E B D? ? ?． 在 Rt AEBV 中， 30AEB? ? ? ， cos BEAEB AE??， ∴ 30 2 0 330AE CO S???． 在 Rt CEDV 中， 30ECD? ? ? ， ∴ 60EC? ． 在 Rt AECV 中， 2 0 3 3ta n 6 0 3AEA C E EC? ? ? ?， ∴ 30AEC? ? ? ， ∴ 2 40 3 69. 2A C A E? ? ?（米）． 答：繩子 AC 的長(zhǎng)度大約為 米。 4． (2022重慶巴蜀 一模）為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計(jì)劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面 AD 與通道 BC 平行），通道水平寬度 BC 為 8 米， ∠ BCD=135176。，通道斜面 CD 的長(zhǎng)為 6 米，通道斜面 AB 的坡度 i=1： ． （ 1）求通道斜面 AB 的長(zhǎng)； （ 2）為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面 CD 的坡度變緩，修改后的通道斜面 DE 的坡角為 30176。，求此時(shí) BE 的長(zhǎng)．（答案均精確到 米，參考數(shù)據(jù)： ≈，≈， ≈） A B C D E 30? 60? 【分析】 （ 1）過(guò)點(diǎn) A 作 AN⊥ CB 于點(diǎn) N，過(guò)點(diǎn) D 作 DM⊥ BC 于點(diǎn) M，解 Rt△ CMD，得出 DM=CM= CD=3 ，則 AN=DM=3 ，再解 Rt△ ANB，由通道斜面 AB 的坡度 i=1：，得出 BN= AN=6，然后 根據(jù)勾股定理求出 AB； （ 2）先解 Rt△ MED，求出 EM= DM=3 ，那么 EC=EM﹣ CM=3 ﹣ 3 ，再根據(jù) BE=BC﹣ EC 即可求解． 【解答】 解：（ 1）過(guò)點(diǎn) A 作 AN⊥ CB 于點(diǎn) N，過(guò)點(diǎn) D 作 DM⊥ BC 于點(diǎn) M， ∵∠ BCD=135176。， ∴∠ DCM=45176。． ∵ 在 Rt△ CMD 中， ∠ CMD=90176。， CD=6， ∴ DM=CM= CD=3 ， ∴ AN=DM=3 ， ∵ 通道斜面 AB 的坡度 i=1： ， ∴ tan∠ ABN= = ， ∴ BN= AN=6， ∴ AB= =3 ≈． 即通道斜面 AB 的長(zhǎng)約為 米； （ 2） ∵ 在 Rt△ MED 中， ∠ EMD=90176。，