高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)(1)(已修改)
2025-01-20 14:06 本頁(yè)面
【正文】 第 2講 直接證明與間接證明 【 2022 年高考會(huì)這樣考】 1 ． 在歷年的高考中 ， 證明方法是常考內(nèi)容 ， 考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅?． 難度多為中檔題 ， 也有高檔題 ． 2 ． 從考查形式上看 ， 主要以不等式 、 立體幾何 、 解析幾何 、函數(shù)與方程 、 數(shù)列等知識(shí)為載體 ， 考查綜合法 、 分析法 、 反證法等方法 ． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 在備考中 ， 對(duì)本部分的內(nèi)容 ， 要抓住關(guān)鍵 ， 即分析法 、 綜合法 、 反證法 ， 要搞清三種方法的特點(diǎn) ， 把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟 ， 熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類(lèi)型 ， 同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練 ， 達(dá)到熟能生巧 ， 有效運(yùn)用它們的目的 ． 基礎(chǔ)梳理 1 ．直接證明 (1) 綜合法 ① 定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ② 框圖表示： P ? Q1→ Q1? Q2→ Q2? Q3→?→ Qn? Q ( 其中 P 表示已知條件、已有的定義、公理、定理等， Q 表示要證的結(jié)論 ) ． ( 2 ) 分析法 ① 定義 ： 從要證明的結(jié)論出發(fā) ， 逐步尋求使它成立的充分條件 ，直至最后 ， 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 ( 已知條件 、 定理 、 定義 、 公理等 ) 為止 ． 這種證明方法叫做分析法 ． ② 框圖表示 ： Q ? P1→ P1? P2→ P2? P3→?→ 得到一個(gè)明顯成立的條件 . 2 ． 間接證明 一般地，由證明 p ? q 轉(zhuǎn)向證明： 綈 q ? r ? ? ? t . t 與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定 綈 q 為假，推出q 為真的方法，叫做反證法． 一個(gè)關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用． 兩個(gè)防范 (1) 利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的． (2) 用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用 “ 要證 ( 欲證 ) ?”“ 即要證 ?”“ 就要證 ?” 等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論 P ，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立． 雙基自測(cè) 1 ． ( 人教 A 版教材習(xí)題改編 ) p ＝ ab ＋ cd ， q ＝ma ＋ nc bm＋dn( m 、 n 、 a 、 b 、 c 、 d 均為正數(shù) ) ， 則 p 、 q 的大小為 ( ) ． A ． p ≥ q B ． p ≤ q C ． p ＞ q D ． 不確定 解析 q ＝ ab ＋madn＋nbcm＋ cd ≥ ab ＋ 2 abc d ＋ cd ＝ ab ＋ cd ＝ p ，當(dāng)且僅當(dāng)madn＝nbcm時(shí)取等號(hào) ． 答案 B 2 ． 設(shè) a ＝ lg 2 ＋ lg 5 ， b ＝ ex( x ＜
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