62一元方程的不動點迭代法(已修改)
2025-10-23 16:31 本頁面
【正文】 第六章非線性方程組的迭代解法 一元方程的不動點迭代法 局部收斂性和加速收斂法 不動點迭代法及其收斂性 第六章非線性方程組的迭代解法 不動點迭代法及其收斂性 非線性方程是連續(xù)的，為了求一元設(shè)一元函數(shù) )( xf0)( ?xf （ ） 的實根，先將它轉(zhuǎn)化成等價形式 ),( kxx ?? （ ） 構(gòu)造迭代公式是一個連續(xù)函數(shù)。然后其中 )( x?。, . . .1,0),(1 ??? kxx kk ? （ ） 第六章非線性方程組的迭代解法 ? ?）的根。也是方程（按等價性，），從而滿足方程（既則有有極限，若由此迭代生成的序列對于給定的初值),(,lim,*****0xxxxxxxxkkk?????,)( 稱為迭代函數(shù)）稱為基本迭代法，迭代式（ x?單步法。決定，因此，這是一種僅由迭代過程中。）也稱為不動點迭代法的不動點，式（稱為kk xxxx1* )(??第六章非線性方程組的迭代解法 把（ ）轉(zhuǎn)換成等價形式（ ）的方法很多，迭代函數(shù)的不同選擇對應(yīng)不同的迭代法，它們的收斂性可能有很大的差異。當(dāng)方程有多個解時，同一迭代法的不同初值，也可能收斂到不同的根。舉例說明如下。 第六章非線性方程組的迭代解法 的一個實根。求 01)( 3 ???? xxxf例 解 轉(zhuǎn)換成兩種等價形式把 0)( ?xf,1)(,1)( 3231 ?????? xxxxxx ??對應(yīng)的迭代法分別為 。,...1,0,1,1 3131 ????? ?? kxxxx kkk。斂，第二個迭代法發(fā)散。顯然第一個迭代法收。此方程有唯一實根迭代結(jié)果列于表點為初值，既令為有根區(qū)間。取它的中，從而內(nèi)變號，在區(qū)間既連續(xù)函數(shù)由于5 7 2 4 4 7 53 2 4 7 1 7 ,]21[]21[)(,5)2(,1)1(*0??????xxxfff第六章非線性方程組的迭代解法 表 62 0 1 2 11 1 0 6 4 … … ???1 1 3 3 ? ? k k x x k 例 的根。求 02)( 2 ??? xxf解 轉(zhuǎn)換成等價形式把 0)( ?xf),2(21)( xxxx ??? ?第六章非線性方程組的迭代解法 對應(yīng)的迭代法為 。,. ..1,0),2(211 ???? kxxxkkk所示。果如表計算結(jié)迭代結(jié)果分別收斂到取初值36,2,1 *0????? xx表 63 1 1 1 5 4 3 2 0 kkxxk第六章非線性方程組的迭代解法 上連續(xù)，并且滿足在閉區(qū)間設(shè)函數(shù) ],[)( bax?定理 ]。,[)(],[)1( baxbax ?? ?，有對任意有。使對任意存在正數(shù) ],[,1)2( bayxL ??。yxLyx ??? )()( ??() 函數(shù)的收斂性質(zhì)取決于迭代由此可見，基本迭代法基本定理。的收斂性法的選取。下面給出迭代和初值 )()( 0xx?第六章非線性方程組的迭代解法 則對方程（ ）有 。上存在唯一的不動點在閉區(qū)間函數(shù) *],[)()1( xbax?）生成的序列由迭代法（對于任何初值 ],[)2( 0 bax ?? ? 。收斂到不動點 *xx k有誤差估計式)3(。1* 1 ????? kkk xxLLxx（ ） 證 )(,0)(],[)()()( babaxxxx ????? ???? 知，則由令則有上有兩個相異的不動點在。若上有不動點在上有零點，既是連續(xù)函數(shù)，故它在。因為,],[)(],[)(],[)(0*2*1*xxbaxxbaxbax????第六章非線性方程組的迭代解法 進(jìn)而顯然有 , . . . ,1,0],[ ?? kbax k。*0*1*1* )()( xxLxxLxxxx kkkk ???????? ?
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