【正文】 第二章 隨機變量及其分布 ? 隨機變量 ? 離散型隨機變量及其分布律 ? 隨機變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 ? 隨機變量的函數(shù)的分布 關(guān)于隨機變量 (及向量 )的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機變量 ? 顧名思義 ， 隨機變量就是 “ 其值隨機會而定 ”的變量 ， 正如隨機事件是 “ 其發(fā)生與否隨機會而定 ” 的事件 ． 機會表現(xiàn)為試驗結(jié)果 ， 一個隨機試驗有許多可能的結(jié)果 ， 到底出現(xiàn)哪一個要看機會 ， 即有一 定的概率 ． ? 最簡單的例子如擲骰子 ， 擲出的點數(shù) X是一個隨機變量 ， 它可以取 1， … ， 6等 6個值 ． 到底是哪一個 ，要等擲了骰子以后才知道 ． 因此又可以說 ， 隨機變量就是試驗結(jié)果的函數(shù) ． 從這一點看 ， 它與通常的函數(shù)概念又沒有什么不同 ． 把握這個概念的關(guān)鍵之點在于試驗前后之分：在試驗前我們不能預(yù)知它將取何值 ， 這要憑機會 ， “ 隨機 ” 的意思就在這里 ，一旦試驗后 ， 取值就確定了 ． 比如你在星期一買了 — 張獎券 ， 到星期五開獎 ． 在開獎之前 ， 你這張獎券中獎的金額 X是一個隨機變量 ， 其值耍到星期五的 “ 抽獎試驗 ” 做過以后才能知道 ． ? 明白了這一點就不難舉出一大堆隨機變量的例子 ． 比如 ， 你在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出 100個 ， 其中所含廢品數(shù) X；一月內(nèi)某交通路口的事故數(shù) X；用天平秤量某物體的重量的誤差 X；隨意在市場上買來一架電視機 ， 其使用壽命 X等等 ， 都是隨機變量 ． ? 若把隨機變量 X取所有可能值的概率計算出來 ，列成一個表格 ， 則很容易算出任何一個由 X取值落在某一區(qū)域表示的事件 ， 如擲骰子 ， 至少擲出 1點的概率 。 ? 關(guān)于隨機變量 (及向量 )的研究 ， 是概率論的中心內(nèi)容 ． 這是因為 ， 對于一個隨機試驗 ， 我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量 ， 而這些量就是隨機變量 ． 當然 ， 有時我們所關(guān)心的是某個或某些特定的隨機事件 ． 例如 ， 在特定一群人中 ， 年收入十萬元以上的高收入者 ， 及年收入在 8000元以下的低收入者 ， 各自的比率如何 ， 這看上去像是兩個孤立的事件 ． 可是 ， 若我們引進一個隨機變量的 X： X＝隨機抽出一個人其年收入 ， 則 X是我們關(guān)心的隨機變量 ． 上述兩個事件可分別表為 X＞ 10萬和 X＜ ． 這就看出：隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念之內(nèi) ． 也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象 ， 而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點 ， 一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣 ． 變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念 ． 同樣 ， 概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系 ， 其基礎(chǔ)概念是隨機變量 ． 定義 . 設(shè) S={e}是試驗的樣本空間，如果量 X是定義在 S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個 e?S，有一實數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱 X為 隨機變量。 隨機變量 常用 X、 Y、 Z 或 ?、 ?、 ?等表示。 隨機變量的特點 : X的全部可能取值是互斥且完備的 2 、 X的部分可能取值描述隨機事件 167。 1隨機變量 ? 一個隨機變量是一個未知具體數(shù)值的變量，它的取值可能或代表樣本空間中任何可能的元素。樣本空間中的元素有一定的概率分布（概率密度）。因此我們說隨機變量是以一定的概率取到不同的可能值 例 引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件： ①將 3個球隨機地放入三個格子中， 事件 A={有 1個空格 }， B={有 2個空格 }， C={全有球 }。 ②進行 5次試驗，事件 D={試驗成功一次 }， F={試驗至少成功一次 }， G={至多成功 3次 } 說 明 ?、文字母隨機變量常用大寫的英⑴ZYX等來表示．、或希臘字母????值．常關(guān)心的是它的取對于隨機變量，我們常⑵值來描述隨機事件．要用隨機變量的取我們設(shè)立隨機變量，是⑶隨機變量的分類 ： 隨機變量 一、離散型隨機變量的概念 離散型隨機變量的定義 如果隨機變量 X 的取值是有限個或可列無 窮個，則稱 X 為離散型隨機變量． 167。 2離散型隨機變量 二 、 離散型隨機變量 1 、 定義 若隨機變量 X取值 x1, x2, ?, x n, ? 且取這些值的概率依次為 p1, p2, ?, p n, ?, 則稱 X為離散型隨機變量，而稱 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, ? ) 為 X的 分布律 或概率分布?？杀頌? X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, ? ) ， 或 ? ~XX x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … (1) pk ? 0, k＝ 1, 2, … 。 (2) ??1.1kkp ＝.}{ 35332CCCkXPkk ?＝＝例 設(shè)袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑?，F(xiàn)從中任取 3只球 (不放回 )，求抽得的白球數(shù) X為 k的概率。 解 k可取值 0， 1， 2 2. 分布律的性質(zhì) 例 1 某射手對目標獨立射擊 5次，每次命中目標的概率為 p，以 X表示命中目標的次數(shù)，求 X的分布律。 解：設(shè) Ai? 第 i次射擊時命中目標， i=1,2,3,4,5 則 A1,A2,… A5,相互獨立且 P(Ai)=p,i=1,2,… 5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1p)5 例 2 從 1～ 10這 10個數(shù)字中隨機取出 5個數(shù)字，令： X：取出的 5個數(shù)字中的最大值． 試求 X 的分布律． 解： X 的取值為 5， 6， 7， 8， 9， 10． 并且 ? ? ? ?106551041 ，， ???? ? kCCkXP k具體寫出，即可得 X 的分布律： X 5 6 7 8 9 10P25212525252152523525270252126例 3 將 1 枚硬幣擲 3 次，令： X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差． 試求 X 的分布律． 解： X 的取值為 3， 1， 1， 3． 并且 X 3 1 1 3P81838381例 4 設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為 X 0 1 2 3 4 5P161163161164163164 則 ? ? ? ? ? ? ? ?2102 ??????? XPXPXPXP161163161 ???165?例 4（續(xù)） ? ? ? ? ? ?543 ????? XPXPXP164163 ??167?? ? ? ? ? ? ?????? XPXPXP161163 ??164?例 5 設(shè)隨機變量 X 的分布律為 ? ? ? ??， 2141 ????????? nXP n ．試求常數(shù) c解：由隨機變量的性質(zhì)，得 ? ? ?? ?????????????11 411nnnXP該級數(shù)為等比級數(shù)，故有 ? ? ?? ?????????????11 411nnnXP41141??? c所以 ．3?c 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過 . 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求 X 的分布律 . (信號燈的工作是相互獨立的 ). P{X=3}=(1p)3p 例 6 解： 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為： X pk 0 1 2 3