[理學(xué)]概率統(tǒng)計(jì)d【總復(fù)習(xí)】(已修改)
2025-01-31 14:49 本頁面
【正文】 第一章 隨機(jī)事件和概率 考試要求： 、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì) , 2. 會(huì)計(jì)算古典型概率 ,掌握概率的加法公式、乘法公式、減法公式、全概率公式、以及貝葉斯公式。 3. 理解事件的獨(dú)立性概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算 。 例１、甲，乙，丙三人各射一次靶，記 A－“甲中靶” ； B－“乙中靶” ； C－“丙中靶” 則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： 。A。BA。CABABCABC。ABC。CBACBACBA ??。CBA ??(6)“三人中至少有一人未中靶”： (7)“三人中恰有兩人中靶”： 。CBA ?? 或 。ABC。BCACBACAB ??例 在 1?30這 30個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，取到的數(shù)能被 3整除而不能被 2整除的概率是： A＝｛能被 3整除的數(shù)｝ B＝｛能被 2整除的數(shù)｝ ( ) ( ) ( )P A B P A P A B?? 3 0 3 3 0 63 0 3 0????例 3 100件產(chǎn)品中，共有 3件次品，其余為正品?，F(xiàn)隨機(jī)地取出兩件產(chǎn)品：第一次任取一件產(chǎn)品，測試后 放回原來的產(chǎn)品中 ，第二次再從中任取一件產(chǎn)品， 求取出的兩件中恰有一件次品的概率。 解： 設(shè) A=｛ 取出的兩件中恰有一件次品｝ 抽樣特點(diǎn)？ 有放回抽樣分析： 求出樣本點(diǎn)總數(shù)？ 求出所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)？ 完成抽樣，分二步： 因?yàn)槭怯蟹呕爻闃?，所? 此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù) n =1002 每次都是從 100個(gè)中取 1個(gè)： 100 100 事件 A發(fā)生有幾種可能？ 2種： （正，次）或（次，正） 由于事件 A發(fā)生有（正，次）或（次，正） 2種可能 , 所以事件 A包含的樣本點(diǎn)數(shù) , 1 1 1 13 97 97 3C C C C?共有 m= 個(gè)， 所以 , () mnPA ?1 1 1 13 9 7 9 7 32100C C C C?? ?1 1 1 13 97 97 3C C C C? n(Ω)=1002 m(A)= 1 1 1 13 97 97 3C C C C?例 4 100件產(chǎn)品中，共有 3件次品，其余為正品。現(xiàn)隨機(jī)地取出兩件產(chǎn)品：第一次任取一件產(chǎn)品，測試后 不再放回原來的產(chǎn)品中 ，第二次從第一次取出后所 余下的產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品 。 求取出的兩件中恰有一件次品的概率。 解： 設(shè) A=｛ 取出的兩件中恰有一件次品｝ 抽樣特點(diǎn)？ 無放回抽樣分析： 求出樣本點(diǎn)總數(shù)？ 求出所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)？ 完成抽樣，分二步 因?yàn)槭?無放回抽樣 ，所以 , n(Ω)= 分二步： 事件 A發(fā)生有幾種可能？ 2種： （正，次）或（次，正） 由于事件 A發(fā)生有（正，次）或（次，正） 2種可能 , 所以 , m(A)= 1 1 1 13 97 97 3C C C C?所以 , () mnPA ?1 1 1 13 9 7 9 7 32100C C C CA?? ?1 1 1 13 97 97 3C C C C?100 99 （或一步） ： 2100A113 9 72100 CCC?例 10把鑰匙中有 3把能打開門 , 現(xiàn)任意取兩把 , 能打開門的概率是多少？ 解： 設(shè) A=｛ 任意取兩把鑰匙 , 能打開門 ｝ 求出所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)？ 事件 A發(fā)生有幾種可能？ 2種： （ 1）或（ 2）＝（ 1， 1） 1137CC2037CC?1 1 2 03 7 3 72102 1 3 8()4 5 1 5C C C CCPA ? ?? ? ?272107 6 8( ) 1 11 0 9 1 5CCPA ?? ? ? ? ??事件 A發(fā)生（至少有一把） ? ?? ?( | )P A BP B APA?? ?? ?( | )P A BP A BPB?若 P(A)0, 則 P(AB)=P(B|A)P(A) 若 P(B)0，則 P(AB)=P(A|B)P(B) 條件概率 ? ? 0. 5PA ? ? ? 0. 4PB ? ? ? A B ?? ?|P A B ?, 已知 ? ?? ?P ABPB若 A、 B獨(dú)立，則有 ? ?|P A B ? ? ?? ? ? ? ()()P A B P A P BP B P B?定理 設(shè) A1， …, A n是 Ω的一個(gè)劃分，且P(Ai)0， (i＝ 1， … ， n)， 則對任何事件 B?Ω , 有 1( ) ( ) ( | ) ( 1 . 3 . 7 )niiiP B P A P B A??＝式 ()就稱為 全概率公式 。 定理：設(shè)試驗(yàn) E的樣本空間為 Ω, A為 E的事件， B1，B2， … ， Bn為 Ω的一個(gè)劃分，且 P（ A） 0， P（ Bi）0（ i=1， 2， … ， n），則 ???njjjiiiBPBAPBPBAPABP1)()|()()|()|(i=1， 2， … ， （ Bayes）公式。 例 、 乙 、 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 ， 已知三家工廠的市場占有率分別為 1/ 1/1/2， 且三家工廠的次品率分別為 2％ 、 1％ 、 3％ ，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 。 )()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP ??? ???????)()()()( 321 BAPBAPBAPBP ???注： A1， A2， A３是樣本空間 Ω的一個(gè)劃分。 A１ A２ A３ 設(shè)： B={買到一件次品｝ A1={買到一件甲廠的產(chǎn)品｝ A２ ={買到一件乙廠的產(chǎn)品｝ A３ ={買到一件丙廠的產(chǎn)品｝ 例 、 乙 、 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 ， 已知三家工廠的市場占有率分別為 1/ 1/1/2， 且三家工廠的次品率分別為 2％ 、 1％ 、 3％ ，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 。 A１ A２ A３ 隨機(jī)抽取一產(chǎn)品，若已知是次品，則甲廠生產(chǎn)的概率 1 1 1 111( | ) ( ) ( | ) ( )( | )()( | ) ( )njjjP B A P A P B A P AP A BPBP B A P A????第二、三章 、隨機(jī)變量及其概率分布 考試要求： 理解隨機(jī)變量的概念 。理解分布函數(shù)（ F(x)=P{X≤x} ）的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率 . 理解離散型隨機(jī)變量及其
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