【正文】 高等代數(shù)（ I） Advanced Linear Algebra 助教 : 鄧劍 王威楊 主講教師 : 高 峽 理科樓 1478S ? 大課 周三 3,4 節(jié) 理教 105 周五 1,2 節(jié) 理教 105 ? 習(xí)題課 周三 9,10 節(jié) 文史 201 三教 101 課件下載 : 用戶名： linearalg1 密碼： linearalg1 linearalg2 linearalg2 linearalg9 linearalg9 進(jìn)入后點(diǎn)擊 講義資料 下載。 第三章 向量空間 1 向量空間 2 線性相關(guān)與線性無關(guān) 3 向量組的極大無關(guān)組與秩 4 子空間的基與維數(shù) 5 矩陣的秩 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮 的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 22222222222656462346454NOONONNONOONOOHNNONHOHNONHOHNOONH22223223223???????????????OHNOONH 223 6454 ???22223 NONOHNOONH? ?006454 ??例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮 的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 例 : 考察 氨水 ? 二氧化氮的化學(xué)反應(yīng) , 描述此系統(tǒng)最少需要多少個(gè)反應(yīng)式？ 22222222222656462346454NOONONNONOONOOHNNONHOHNONHOHNOONH22223223223???????????????給定一個(gè)向量組 , 最少需要 (其中 ) 幾個(gè)向量才能線性表出全部向量 ? ????????????????????????????21002001021020221005660402603400645422223 NONOHNOONH取定數(shù)域 K ＝ R , C ， Q … ?????????????????????????????? ni1KKin21n,aaaa?nKn 維向量構(gòu)成的集合記為全體 Kn 中的向量可以做向量加法 ?????????????????????????????????????332211321321babababbbaaa?? K 中的數(shù)可以和向量做數(shù)乘： ?????????????????????321321akakakaaak向量空間是帶運(yùn)算的集合 ? 數(shù)域 K 上全體 n 維向量構(gòu)成的集合 , 連同 其上定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算，構(gòu)成 n 維 向量空間，記為 Kn 。 ? 加法、數(shù)乘運(yùn)算 的具體形式不是 主要的，運(yùn)算滿足的八條性質(zhì)才是最關(guān)鍵的。 向量加法滿足交換律 , 結(jié)合律 : ??????????????????????321321bbbaaa??????????321aaa???????????321bbb?????????????321ccc?????????????????????321321cccbbb???????????321aaa存在零向量、負(fù)向量 : ????????????????????????????????321321000aaaaaa???????????????????????????????????000321321aaaaaa ???? ???)()( γβαγβα ??????? ??00??? )( αα 向量加法的性質(zhì) : αα ?1)()( αlkαlk ?αlαkαlk ??? )(βkαkβαk ??? )(有對(duì)任意系數(shù) , K?lk Kn 的標(biāo)準(zhǔn)基： ???????????????????????????????????????100ε,010ε,001εn21????標(biāo)準(zhǔn)基能線性表出 Kn 每一個(gè)向量 ????????????n21bbb?????????????????????????????????????????n21000000bbb????標(biāo)準(zhǔn)基能線性表出 Kn 每一個(gè)向量 ????????????????????????????????????????100010001n21????bbbnn2211 εεε bbb ???? ?????????????n21bbb? 線性組合 給定一組向量 ?1 , ?2 , … , ?s ∈ Kn 及系數(shù) k1 , k2 , … , ks ∈ K， k1 ?1 ＋ k2 ?2 ＋ … ＋ ks ?s 稱為 ?1 , ?2 , … , ?s 的一個(gè)線性組合 , k1 , k2 , … , ks 稱為組合系數(shù) . 給定一組向量 ?1 , ?2 , … , ?s ? Kn , 這些向量的全體線性組合構(gòu)成的 集合記為 ?1 , ?2 , … , ?s . 性質(zhì) 1) 包含零向量 (非空 )： 0 = 0 ?1 + 0 ?2 + … + 0 ?s ? 0 ? ?1 , ?2 , … , ?s 給定一組向量 ?1 , ?2 , … , ?s ? Kn , 這些向量的全體線性組合構(gòu)成的 集合記為 ?1 , ?2 , … , ?s . 性質(zhì) 2) 若 ? = k1?1 + k2?2 + … + ks?s ? = l1?1 + l2?2 + … + ls?s 則 ? + ? ? ?1 , ?2 , … , ?s 給定一組向量 ?1 , ?2 , … , ?s ? Kn , 這些向量的全體線性組合構(gòu)成的 集合記為 ?1 , ?2 , … , ?s . 性質(zhì) 3) 對(duì)數(shù)乘封閉： 若 l ? K ， ? = k1?1 + k2?2 + … + ks?s 則 l ? ? ?1 , ?2 , … , ?s 給定一組向量 ?1 , ?2 , … , ?s ? Kn , 這些向量的全體線性組合構(gòu)成的 集合記為 ?1 , ?2 , … , ?s . 性質(zhì) 1) 包含零向量 (非空 ) 。 2) 對(duì)向量加法封閉 。 3) 對(duì)數(shù)乘封閉 . 向量空間 Kn 的子集 V 如果滿足 1) V 非空 。 2) 對(duì)向量加法封閉： ? ? , ? ∈ V ? ? + ? ∈ V 3) 對(duì)數(shù)乘封閉： ? k ∈ K , ? ∈ V ? k ? ∈ V 則稱 V 為 Kn 的線性子空間 . 線性子空間 ? 向量空間 Kn 有兩個(gè)特殊的線性子空間： 零子空間 : V = { 0 } 全空間 : V = Kn 它們又稱為 Kn 的平凡子空間 , ? Kn 其余的子空間稱為非平凡子空間 . ? 給定 ?1 , ?2 , … , ?s ? Kn , 則 ?1 , ?2 , … , ?s 是 Kn 的一個(gè)線性子空間 , 稱為 由 ?1 , ?2 , … , ?s 生成的線性子空間 , ?1 , ?2 , … , ?s 稱為該子空間的一組生成元 . oR21 ?kk ,2211 ?? kk ?不共線設(shè) 3, R21 ???2?1?過原點(diǎn)平面??? 21 ?? , 線性表出 給定向量 ? 及向量組 ?1 , ?2 , … , ?s ， 如果 ? ∈ ?1 , ?2 , … , ?s , 即存在系數(shù) k1 , k2 , … , ks ，使得 ? ＝ k1 ?1 ＋ k2 ?2 ＋ … ＋ ks ?s ， 則稱 ? 可以被向量組 ?1 , ?2 , … , ?s 線性表出 . ? ∈ ?1 , ?2 , … , ?s 新 觀點(diǎn) 老方法 βαxαxαx ???? ss2211 ?線性方程組 有解 一組表出系數(shù) 一個(gè)解 例：判斷 ?1 , ?2 , ?3 能否 線性表出 ? βαxαxαx ??? 332211解????????????????????????????????????????????????312,631,1255,321321 βααα??????????????3612313522151??????????00001130