【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 , … , ? s 線性無關(guān) 0ss2211 ???? ??? xxx ?ns21 K???? , ? 齊次線性方程組解的判定 定理 ：若 s 元 n 方程齊次線性方程組化為 階梯型方程組后有 r 個(gè)非零行 (主元 )，則 r ＝ s 方程組有唯一解（零解） r s 方程組有無窮多解 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： ?????????????????098320552203725432143214321xxxxxxxxxxxx變?cè)?方程3 扁平形 齊次方程組 若變?cè)獋€(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù) ，齊次方程組 一定有非零解： 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225 推論：向量空間 Kn 中任意 n + 1 個(gè) 向量必線性相關(guān) . 線 性相 關(guān)R3???????????????????????????????????????????953,857,322,225例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余向量線性表出 . 43212143,0152,3021R?????????????????????????????????????????? ???0??? 332211 ??? xxx解??????????????203110452321???????????????76011010903210??? 332211 ??? xxx解主元個(gè)數(shù) = 變量個(gè)數(shù) ? 唯一解 (零解 ) ?????????????0001001103210??? 332211 ??? xxx解線性無關(guān) ?????????????????????????????????????????2143,0152,3021321???例 : 判斷線性相關(guān)性 , 如果相關(guān) , 將其中一個(gè)向量用其余的向量線性表出 . 解：向量個(gè)數(shù) 空間維數(shù) , 向量組線性相關(guān) . .381,105,052,2434321???????????????????????????????????????????????? ????0???? 44332211 ???? xxxx解??????????????310280541523? 1 ???????????????310280542421???????????????310280542421??????????????774016161302421? 3 ??????????????774055102421??????????????27270055102421? 4 ? 1/27 ??????????? 110000102022?????????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx?????????4324102xxxxx???????????? ?????????????? ??????????????11020244444321xxxxxxxx：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????431 2121??? ??：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????11020????????? 4321 1102 ????：，得到方程組的一個(gè)解＝令 14x?????????????1102314 2 ??? ??431 2121??? ?? 考察 n 方程 n 變?cè)凝R次線性方程組 ???????????????????000nnn2n21n1n2n222121n1n212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa?????0nn2211 ???? ??? xxx ? 1) 若 | A | = 0, 齊次方程組有非零解 2) 若 | A | ≠ 0, 齊次方程組只有零解 線性相關(guān)n21 ??? , ??nn21 K???? , ?給定列向量? ?n21A ??? ??記線性無關(guān)n21 ??? , ??例 : 判斷以下向量組的線性相關(guān)性 0εεε nn2211 ???? kkk ?0????? n21 kkk ?線性無關(guān)n21 εεε , ???????????????n21kkk?nn21 K100ε,010ε,001ε ????????????????????????????????????????????? Kn 的標(biāo)準(zhǔn)基 ?1 , ?2 , ? , ?n 線性無關(guān)； ? 標(biāo)準(zhǔn)基能線性表出 Kn 的每一個(gè)向量： ????????????n21bbb? nn2211 εεε bbb ???? ?????????????????1nn1n31n21n12n232221n3211111aaaaaaaaaaaa????????關(guān)列（行）向量組線性無例 : 判斷方陣行向量組的線性相關(guān)性 互異n21 aaa ?,? 向量組的部分組 的部分組：654321 ,, ??????。, 4321 ???? 。, 631 ???611 2, ??? 61 , ?? 00????? 43212 ????線性相關(guān)部分組 4321 , ????線性相關(guān)654321 ,, ???????0????????? 654321 002 ??????命題 : 1) 向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān) , 則向量組也線性相關(guān) 。 2) 向量組線性無關(guān) , 則向量組任何一個(gè) 部分組都線性無關(guān) . Quiz: 設(shè) 線性相關(guān) , 線性無關(guān) . 問 能否用 線性表出 ? ? 線性無關(guān) ? 線性表出 321 , ??? 432 , ???1? 32 ,??32 ,??1?32 ,??給定一個(gè)向量組 , 最少 需要 (其中的 ) 幾個(gè)向量才能線性表出全部向量 ? ????????????????????????????21002001021020221005660402603400645422223 NONOHNOONH第三章 向量空間 1 向量空間 2 線性相關(guān)與線性無關(guān) 3 向量組的極大無關(guān)組與秩 4 子空間的基與維數(shù) 5 矩陣的秩 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 極大無關(guān)組定義 如果向量組 的一個(gè) 部分組滿足以下兩個(gè)條件 1) 部分組線性無關(guān) 。 2) 部分組能線性表出整個(gè)向量組 。 則稱該部分組是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 . ns21 K???? , ? 等價(jià)定義 向量組的一個(gè)部分組是極大無關(guān)組 當(dāng)且僅當(dāng) 1) 部分組線性無關(guān) 。 2) 部分組添加向量組（其余）任一向量后 , 都變得線性相關(guān) . 標(biāo)準(zhǔn)定義 ? 部分組線性無關(guān) 。 ? 部分組能線性表出 整個(gè)向量組。 等價(jià)定義 1 ? 部分組線性無關(guān) 。 ? 部分組添加向量組 （其余）任一向量 后 , 都變得線性相關(guān) . ? 向量組 0, 0, …, 0 沒有極大無關(guān)組 . ? 向量組 ? 1 , ? 2 , … , ? s 只要 包含一個(gè)非零 向量 , 就有極大無關(guān)組 ： ? 向量組 ?1 , ?2 , … , ?s 是自身的極大無關(guān)組 ? ? 1 , ? 2 , … , ? s 線性無關(guān) . r321 iiii 0 ???? , ??例 : 找出以下向量組的所有極大無關(guān)組 . ? 向量組線性相關(guān)： .,????????????????????????????????????105142243321 ???0321 ??? ???213 ??? ??都包含兩個(gè)向量極大無關(guān)組每個(gè)