[理學(xué)]d61定積分的概念和性質(zhì)(已修改)
2024-12-20 00:45 本頁(yè)面
【正文】 第六章 定積分 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 一、問(wèn)題的提出 二、定積分的定義 三、存在定理 四、幾何意義 五、性質(zhì) 六、小結(jié) 思考題 a b x y o ??A曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例 （求曲邊梯形的面積） )( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成 .一、問(wèn)題的提出 )( xfy ?a b x y o a b x y o 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積． （四個(gè)小矩形） （九個(gè)小矩形） 曲邊梯形如圖所示， ,],[1210 bxxxxxabann ??????? ??，內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)在區(qū)間。,3,2,1],[],[11?????????iiiiixxxnixxnba長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間分成把區(qū)間，上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間iii xx?],[ 1?ii xf ?)(?為高作小矩形，為底，以 )(],[ 1 iii fxx ??a b xyo i? ix1x 1?ix 1?nx（ 1）分割 個(gè)小矩形面積第 i（ 2）近似求和 iA個(gè)小曲邊梯形的面積第 ini ,2,1 ?????inii xfA ?? ??)(1?曲邊梯形面積的近似值為 inii xfA ?? ???)(l i m10??時(shí)，趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(},ma x {,21??????? nxxx ?曲邊梯形面積為 （ 3）取極限 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上有界，記 },m a x { 21 nxxx ???? ?? ，如果不論對(duì) ],[ ba在 ],[ ba 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為,2,1,1 nixxx iii ??????? ? 在各小區(qū)間上任取一點(diǎn) i? （ iii xx ??? ?1 ）， nixf ii ,2,1,)( ?????? 并作和 iinixfS ?? ??)(1? ，二、定積分的定義 定義 作乘積 怎樣的分法，? ??ba Idxxf )( iinixf ????)(lim10??被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積分區(qū)間],[ ba也不論在小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 上點(diǎn) i? 怎樣的取法， 只要當(dāng) 0?? 時(shí)，和 S 總趨于確定的極限 I ，則稱這個(gè)極限 I 為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的 定積分 ，記為 積分上限 積分下限 積分和 注意： （ 1 ） 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， ?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(（ 2 ）定義中區(qū)間的分法和 i? 的取法是任意的 .（ 3 ）當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分存在時(shí)，而與積分變量的字母無(wú)關(guān) .稱 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上 可積 . 當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)時(shí)，定理 1 定理 2
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