[理學(xué)]1_2隨機(jī)變量和分布函數(shù)(已修改)
2024-12-20 00:39 本頁(yè)面
【正文】 隨機(jī)變量及其概率分布 第二章 ? 離散型隨機(jī)變量及其分布律 ? 正態(tài)分布 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布律 ? 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 在前面的學(xué)習(xí)中 ,我們用字母 A、 B、 C...表 示事件，并視之為樣本空間 Ω 的子集；針對(duì)等 可能概型，主要研究了用排列組合手段計(jì)算事 件的概率。 本章，將用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，以便 采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象。 隨機(jī)變量及其分布 Random Variable and Distribution 隨機(jī)變量 ?基本思想 將樣本空間數(shù)量化 ,即用數(shù)值來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果 ? 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來(lái)表示 . 例如 : 在擲骰子試驗(yàn)中 ,結(jié)果可用 1,2,3,4,5,6來(lái)表示 例如 : 擲硬幣試驗(yàn) ,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來(lái)表示的 可規(guī)定 : 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” Random Variable ? 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來(lái)表示， 但可數(shù)量化 例 設(shè)箱中有 10個(gè)球，其中有 2個(gè)紅球， 8個(gè)白 球；從中任意抽取 2個(gè) ,觀察抽球結(jié)果。 取球結(jié)果為 : 兩個(gè)白球 。兩個(gè)紅球 。一紅一白 特點(diǎn) ： 試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了 對(duì)應(yīng)關(guān)系 如果用 X表示取得的紅球數(shù) ，則 X的取值可為 0， 1， 2。 此時(shí)， “兩只紅球” = “X取到值 2”, 可記為 {X=2} “ 一紅一白” 記為 {X=1}, “ 兩只白球” 記為 {X=0} 試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化 隨機(jī)變量的定義 1) 它是一個(gè)變量 2) 它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變 3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個(gè) 隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)變量 ? 隨機(jī)變量的兩個(gè)特征 : 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 Ω ，如果對(duì)于每一 個(gè)樣本點(diǎn) ，均有唯一的實(shí)數(shù) 與 之對(duì)應(yīng)，稱 為樣本空間 Ω上 的隨機(jī)變量。 ? ?? ()X ?()XX ??隨機(jī)變量的實(shí)例 ? 某個(gè)燈泡的使用壽命 X。 ? 某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù) Y. ? 在 [0， 1]區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo) X. X 的可能取值為 [0,+?) Y 的可能取值為 0， 1， 2， 3， ..., X 的可能取值為 [0， 1]上的全體實(shí)數(shù)。 ? 例 用隨機(jī)變量表示事件 ? 若 X是隨機(jī)試驗(yàn) E的一個(gè)隨機(jī)變量， S?R ， 那么 {X∈ S}可表示 E中的事件 如在擲骰子試驗(yàn)中，用 X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) ,則 “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可表示為： {X=2}? {X=4} ?{X=6} “ 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于４”可表示為： {X 4}或 {X?3} ? E中的事件通常都可以用 X的不同取值來(lái)表示 . 隨機(jī)變量的類型 ? 離散型 ? 非離散型 隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè) 隨即變量的取值有無(wú)窮多個(gè)，且不可列 其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型 離散隨機(jī)變量的概率分布 稱此式為 X的 分布律（列） 或 概率分布（ Probability distribution) ? ? kk pxXP ?? 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值是 ，而 取值 的概率為 X12, , , ,nx x x kx kp即 隨機(jī)變量 X的概率分布 全面表達(dá)了 X的所有可能取值以及取各個(gè)值的概率情況 p1 ， p2 ， … p K … x1， x2， … x k， … X 離散隨機(jī)變量分布律的表格表示法 ? 公式法 ? ? kk pxXP ??? 表格法 1 ) 0 1 , 2 ,kpk??12 ) 1kkp????性質(zhì) X 1 1 2 P 1/3 1/ 2 1/ 6 例 設(shè) X的分布律為 求 P(0X≤2) P(0X≤2)=P（ X=1） +P（ X=2） =1/2+1/6=2/3 分布律確定概率 解 =P(抽得的兩件全為次品 ) 求分布律舉例 例 1 設(shè)有一批產(chǎn)品 20件，其中有 3件次品，從中任意抽取 2件，如果用 X表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量 X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解 ： X的可能取值為 0， 1， 2 =P(抽得的兩件全為正品 ) 190136220217 ??CCP{X=1} P{X=2} 113 1 72
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