[理學]隨機過程第三章(已修改)
2025-10-26 01:14 本頁面
【正文】 1 第三章 泊松過程 ? 泊松過程定義 ? 泊松過程的數(shù)字特征 ? 時間間隔分布、等待時間分布及到達時間的條件分布 ? 非齊次泊松過程 ? 復合泊松過程 2 定義：稱隨機過程 {N(t),t≥0}為計數(shù)過程，若N(t)表示到時刻 t為止已發(fā)生的“事件 A”的總數(shù)，且 N(t)滿足下列條件： 1. N(t) ≥0。 2. N(t)取正整數(shù)值； 3. 若 st，則 N(s) ≤N(t)； 4. 當 st時， N(t)N(s)等于區(qū)間 (s,t]中發(fā)生的“事件 A”的次數(shù)。 3 如果計數(shù)過程在不相重疊的時間間隔內，事件 A發(fā)生的次數(shù)是相互獨立的。 計數(shù)過程 N(t)是平穩(wěn)增量過程 若計數(shù)過程 N(t)在 (t,t+s]內（ S0），事件 A發(fā)生的次數(shù) N(t+s)N(t)僅與時間差 s有關，而與 t無關。 計數(shù)過程 N(t)是獨立增量過程 4 定義 ：稱計數(shù)過程 {X(t),t≥0}為具有參數(shù) λ 0的泊松過程，若它滿足下列條件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是獨立增量過程； 3. 在任一長度為 t的區(qū)間中，事件 A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù) λ0的泊松分布，即對任意 s,t≥0，有 ?2,1,0,!)(})()({ ????? ? kkteksXstXP kt ??泊松過程同時也是平穩(wěn)增量過程 5 定義 ：稱計數(shù)過程 {X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ0的泊松過程，若它滿足下列條件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程； 3. X(t)滿足下列兩式： )()(}2)()({)()(}1)()({bhotXhtXPahohtXhtXP????????? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?chhhttPhttPhttPhtt，bajj01,1,210???????????????的概率為：內事件不發(fā)生在合起來可得將式6 例如： ； ； ； 定理：定義 。 證明 7 167。 泊松過程的基本性質 一 .數(shù)字特征 : ? ? 00,0 ?? Xs令? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? tXtXEtXEtm X ?????? 0設 {X(t),t≥0}是泊松過程，對任意的 t,s∈ [0, ∞)，且 st， 由泊松過程的增量分布服從泊松分布可得 : )()]()([)]()([ stsXtXDsXtXE ????? ?由于 X(0)=0，所以 ? ?? ?ttXE?? ?)(為過程的速率或強度。次數(shù)，故稱發(fā)生的平均是單位時間內隨機事件??8 ttXDtX ?? ?? )]([)(2? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?tttttXEtXDtXE???? ??????12222? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? sstssstssssXtXEXsXEsXEsXtXXsXEsXsXtXsXEtXsXEtsRX?????????????????????????????222)1()()()0()()()()()0()(,? ? stssttsRts X ????? ,0 2 ??當9 ? ? 0, 2 ????? tststtsRts： X ??當同理),m i n (),( 2 tssttsR X ?? ???一般情況下，泊松過程的協(xié)方差函數(shù)可表示為 ))()(),()(,m i n(),( tmsmtsRtstsB XXXX ??? ?泊松過程的特征函數(shù)為： ? ?? ? ? ?? ?1e x p)( ??? ?? ?? itXiX eteEg10 二、時間間隔與等待時間的分布 ? ?? ? 為相應的泊松過程。，對應的強度為的泊松流為設隨機點相繼出現(xiàn)時間0, 21?ttX，WWW n???nniiiiTTTWiiTiWWTW????????? ???2110 1,2,1,0是隨機變量。隨機點的點間間距，也個個至第為第稱記 的等待時間。次事件第出現(xiàn)的時刻或次事件稱為第為隨機變量顯然AnAnW n ,11 ? ?的指數(shù)分布。為）是獨立同分布的均值（隨機變量，則是對應的時間間隔序列過程，為的泊松是具有參數(shù)定理：設??12,1}1,{0),(????nTnTttXnn? ?? ?內沒有事件發(fā)生，所以在時間發(fā)生當且僅當泊松過程證：注意，事件ttT,01 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????????????0,00110)(1111 ttetTPtTPtFetXPtTPtTt，即：??T1 W1 t 12 有立增量性質利用泊松過程的平穩(wěn)獨 ，? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?的指數(shù)分布。也服從均值為故，其概率密度為：，內無事件發(fā)生在內沒事件發(fā)生在?????10,000,00110,/,/22211222TttetfttetTPtTPtFesXstXPtssPsTtssPsTtTPtTtTt?????????????????????????????????的指數(shù)分布。是服從均值為所以 ?11T13 ? ?? ? ? ?? ? tnnnnnnesssXsstXPsTsTtTP，ssst，n??????????????????????0,/0,1121111111121???有和對任意的????????? ?0,00,1}{)(ttetTPtF tnT n
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