[理學]同濟大學微積分第三版課件第三章第四節(jié)(已修改)
2024-10-31 00:39 本頁面
【正文】 第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分 本節(jié)要點 本節(jié)通過有理函數(shù)的高斯分解建立了有理函數(shù)的積分 一、有理函數(shù)的不定積分 二、可化為有理形式的三角函數(shù)的積分 三、可化為有理形式的簡單無理函數(shù)的積分 方法 , 并討論某些可以化為有理函數(shù)的積分 . 一、有理函數(shù)的不定積分 有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù) , 即具 ? ?? ?120 1 2 1120 1 2 1,n n nnnm m mmmPx a x a x a x a x aQ x b x b x b x b x b??????? ? ? ? ??? ? ? ? ?其中 為非零整數(shù) , 都是實數(shù) , 且 ,mn,ijab 000 , 0 .ab??有如下形式的函數(shù) : 有理函數(shù)可以分解成多項式與若干個部分分式之和 , 假設(shè)多項式 之間沒有公因式 , 且 的 ? ? ? ?,P x Q x ? ?Px的次數(shù)大于或等于 的次數(shù) , 此時稱該有理函 ? ?Px ? ?Qx有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) , 它們一定可以通過有 理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反正切函數(shù)表出 . ? ?Qx次數(shù)小于 的次數(shù) , 此時稱該有理函數(shù)為真分式 . 若 數(shù)為假分式 . 利用多項式的除法 , 可將一個假分式化為 一個多項式與一個真分式之和的形式 . 例如 ? ?3211xfxx???32211 .11x x x xxxx? ? ? ? ?? ? ??? 由代數(shù)學知道 , 多項式 總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分 ? ?Qx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?220 ,Q x b x a x b x p x q x r x s????? ? ? ? ? ? ? 其中 因此有理函數(shù)中的真分 224 0 , , 4 0 ,p q r s? ? ? ?解成一次因式與二次因式的乘積 , 即 式可以分解成若干個部分分式之和 . ? ?? ? ? ? ? ?121Px AAAQ x x ax a x a??? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 11 2BB B M x Nxbx b x b x p x q?? ? ???? ? ? ? ???? ??? ?221 22M x NM x Nx px qx px q??? ???? ? ? ?????? ? ? ?1 1 2 21 222 .R x SR x S R x Sx r x sx r x s x r x s???? ????? ? ? ???? ? ? ?其中 等都是需要確定的常數(shù) , , , , , , ,i j i j i jA B M N R S方法一 : 將部分分式通分后 , 再比較分子系數(shù) , 通過解 ? ? ? ?2335 6 2 3 2 3x x A Bx x x x x x?? ? ? ?? ? ? ? ? ?比較分子系數(shù) , 得方程組 : ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?3 2 3 2 ,2 3 2 3A x B x A B x A Bx x x x? ? ? ? ? ???? ? ? ?它們可以通過下面方法確定 : 方程組確定系數(shù) . 例如 : ? ?1,3 2 3 ,ABAB???? ? ? ??即 : 23 5 6 .5 6 2 3xx x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?22 2 2111 ,11 1 1A x B x C x xA B Cxxx x x x x? ? ? ?? ? ? ??? ? ?方法二 : 部分分式通分后 , 在分子恒等式中代入特殊的 值從而確定常數(shù) . 例如 x5 , 6 .AB? ? ? ?令 得 。令 得 。 將 0 , 1 1 , 1x A x B? ? ? ?1, 1AB??及 代入上式得 因此 2x? ??? ? ? ?221 1 1 1 .111 xxx x x? ? ????即 : ? ? ? ?21 1 1 ,A x B x C x x? ? ? ? ?例 分解 31 .1xx??
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