【正文】 第三章 微積分問題的計(jì)算機(jī)求解 ? 微積分問題的解析解 ? 函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求解 ? 數(shù)值微分 ? 數(shù)值積分問題 ? 曲線積分與曲面積分的計(jì)算 微積分問題的解析解 極限問題的解析解 ? 單變量函數(shù)的極限 – 格式 1： L= limit( fun, x, x0) – 格式 2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘ right’) ? 例 : 試求解極限問題 syms x a b。 f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x)。 L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b ? 例 :求解單邊極限問題 syms x。 limit((exp(x^3)1)/(1cos(sqrt(xsin(x)))),x,0,39。right39。) ans = 12 ? 在 (,)區(qū)間繪制出函數(shù)曲線： x=::。 y=(exp(x.^3)1)./(1cos(sqrt(xsin(x))))。 Warning: Divide by zero. (Type warning off MATLAB: divideByZero to suppress this warning.) plot(x,y,39。39。,[0], [12],39。o39。) ?多變量函數(shù)的極限： – 格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0) 如果 x0 或 y0不是確定的值，而是另一個變量的函數(shù)，如 xg(y)，則上述的極限求取順序不能交換。 ? 例：求出二元函數(shù)極限值 syms x y a。 f=exp(1/(y^2+x^2)) … *sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2)。 L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) L = exp(a^2) 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解 ? 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù) – 格式： y=diff(fun,x) %求導(dǎo)數(shù) y= diff(fun,x,n) %求 n階導(dǎo)數(shù) ? 例： 一階導(dǎo)數(shù)： syms x。 f=sin(x)/(x^2+4*x+3)。 f1=diff(f)。 pretty(f1) cos(x) sin(x) (2 x + 4) 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) 原函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)圖： x1=0:.01:5。 y=subs(f, x, x1)。 y1=subs(f1, x, x1)。 plot(x1,y,x1,y1,‘:’) 更高階導(dǎo)數(shù)： tic, diff(f,x,100)。 toc elapsed_time = ? 原函數(shù) 4階導(dǎo)數(shù) f4=diff(f,x,4)。 pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) + 4 12 2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 24 + 48 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 72 + 24 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) ? 多元函數(shù)的偏導(dǎo)： – 格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m) ? 例： 求其偏導(dǎo)數(shù)并用圖表示。 syms x y z=(x^22*x)*exp(x^2y^2x*y)。 zx=simple(diff(z,x)) zx = exp(x^2y^2x*y)*(2*x+2+2*x^3+x^2*y4*x^22*x*y) zy=diff(z,y) zy = (x^22*x)*(2*yx)*exp(x^2y^2x*y) ? 直接繪制三維曲面 [x,y]=meshgrid(3:.2:3,2:.2:2)。 z=(x.^22*x).*exp(x.^2y.^2x.*y)。 surf(x,y,z), axis([3 3 2 2 ]) contour(x,y,z,30), hold on % 繪制等值線 zx=exp(x.^2y.^2x.*y).*(2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y4*x.^22*x.*y)。 zy=x.*(x2).*(2*y+x).*exp(x.^2y.^2x.*y)。 % 偏導(dǎo)的數(shù)值解 quiver(x,y,zx,zy) % 繪制引力線 ? 例 syms x y z。 f=sin(x^2*y)*exp(x^2*yz^2)。 df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z)。 df=simple(df)。 pretty(df) 2 2 2 2 2 4 z exp(x y z ) (cos(x y) 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2 sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y sin(x y)) ? 多元函數(shù)的 Jacobi矩陣 : – 格式： J=jacobian(Y,X) 其中， X是自變量構(gòu)成的向量， Y是由各個函數(shù)構(gòu)成的向量。 ? 例： 試推導(dǎo)其 Jacobi 矩陣 syms r theta phi。 x=r*sin(theta)*cos(phi)。 y=r*sin(theta)*sin(phi)。 z=r*cos(theta)。 J=jacobian([x。 y。 z],[r theta phi]) J = [ sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi)] [ sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi)] [ cos(theta), r*sin(theta), 0 ] ? 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： – 格式： F=diff(f,xj)/diff(f,xi) ? 例： syms x y。 f=(x^22*x)*exp(x^2y^2x*y)。 pretty(simple(diff(f,x)/diff(f,y))) 3 2 2 2 x + 2 + 2 x + x y 4 x 2 x y x (x 2) (2 y + x) 積分問題的解析解 ? 不定積分的推導(dǎo)： – 格式： F=int(fun,x) ? 例： 用 diff() 函數(shù)求其一階導(dǎo)數(shù)，再積分， 檢驗(yàn)是否可以得出一致的結(jié)果。 syms x。 y=sin(x)/(x^2