【正文】 第四章 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法 167。 概 述 線性代數(shù)方程組 (System of Linear Algebra Equations)的求解是數(shù)值計算方法中的一個重要課題。現(xiàn)代工程技術(shù)或科研過程中所遇到的一些實際問題，常常直接或間接地歸結(jié)為求解一個線性代數(shù)方程組。例如有分支水流的流速分布、建筑結(jié)構(gòu)中的設(shè)計計算和應(yīng)力分析、儀器分析中的質(zhì)譜分析、光譜分析、色譜分析、電力系統(tǒng)中的電網(wǎng)分析等等；另外有些數(shù)值計算方法本身也是以線性代數(shù)方程組的數(shù)值解、有限元法和邊界元等等，其中間過程或者最后都會導(dǎo)致求解線性代數(shù)方程組。這些線性代數(shù)方程組的解法是十分必要的，有著十分重要的意義。 167。 概 述 本章介紹求解 n階線性代數(shù)方程組的一般形式是： 或簡寫成矩陣形式： 其中 A稱為方程組 ()式的系數(shù)矩陣； B稱為方程組的右端列向量； x稱謂方程組解的列向量 。它們分別為 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 12 1 1 2 2 2 2 3 3 2 21 1 2 2 3 3nnnnn n n n n n na x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ?Ax b() () 167。 概 述 11 12 13 1 121 22 23 2 21 2 31 2 3jnjni i i ij inn n n nj nna a a a aa a a a aa a a a aa a a a a?????????????A12inbbbb??????????? ????????????b12inxxxx??????????? ????????????x 求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值計算方法很多，大致可分為兩大類：消去（元）法和迭代法。消去法是直接從方程組的系數(shù)矩陣入手，經(jīng)過有限步運算求出方程組的精確解（假如沒有舍入誤差的話）。迭代法則是將求方程組的問題化為構(gòu)造一組遞推計算結(jié)構(gòu)，從一組近似解出發(fā)，用這組遞推結(jié)構(gòu)逐步算出精度更高的近似解。上述這兩類算法各有其優(yōu)點和缺點，消去法的計算量小，但程序復(fù)雜；迭代法計算量大，精度不高，但程序結(jié)構(gòu)簡單。 本章將主要介紹求解線性代數(shù)方程組的簡單高斯消去法和三角分解法，迭代法將在以后相關(guān)章節(jié)中介紹。 167。 高斯消去法 167。 我們以三元線性代數(shù)方程組為例，敘述簡單高斯消去法（以下簡稱為消去法）的基本步驟，這各方法是理解其它方法的基礎(chǔ)，消去法分為消元和回代兩個過程。 例 41： 消去過程實際上是對增廣矩陣作行初等變換。上例可表示為 1232 4 1 43 1 2 95 4 6 2 5xxx? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?2 4 1 43 1 2 95 4 6 2 5? ? ???????????2132rr?2152rr?2 4 1 40 7 1 / 2 1 50 1 4 7 / 2 3 5? ? ???????????322rr?2 4 1 40 7 0 .5 1 50 0 2 .5 5? ? ???????????167。 高斯消去法 這是上三角方程組，它極容易求解：由第三個方程得 ， 代入第二個方程得 ，再代入第一方程 。此一過程稱為回代過程。 從上述消元過程可以看出，三元議程組要經(jīng)過兩次消元（因為 不用消）才能把增廣矩陣化為擬上三角矩陣。對于一般的 n元線性代數(shù)方程組，經(jīng)經(jīng)過 (n1)次消元才能把相應(yīng)的增廣矩陣變換為擬上三角矩陣。 n元線性代數(shù)方程組的增廣矩陣的一般形式如 ()式。 3 2x ??2 2x ? 1 1x ?3x167。 高斯消去法 以下是消元步驟（共分 n1部）： 第一步 (k=1)：從第一列中消去第 2～ n行中 x1的系數(shù)，即消去 a11下方元素； 第二步 (k=2)：從第一列中消去第 3～ n行中 x2的系數(shù)，即消去 a22下方元素； (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )11 12 13 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )21 22 23 2 2 2 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )31 32 33 3 3 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 2 3 1j n nj n nj n ni i i i j i n i na a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a????(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 2 3 1n n n nj nn nna a a a a a???????????????() 167。 高斯消去法 第 j步 (k=j)：從第 j列中消去第 j+1～ n行中 xj的系數(shù)；即消去 ajj下方元素 。 第 n1步 (k=n1)：從第 n1列中消去第 n行中 xn1的系數(shù)；即消去 an1n1下方元素 因此，高斯消元步驟的計算通式可寫為： ()()( 1 ) ( ) ( )1 , 2 , 3 , , 11 , 2 , ,1 , 2 , , 1kikkkkk k kij ij k jkni k k naRaj k k na a R a?? ???? ? ???????? ? ? ? ??????() 167。 高斯消去法 經(jīng)過 n1步消元后，增廣矩陣 ()式變?yōu)椋? (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )11 12 13 1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 23 2 2 2 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )33 3 3 3 1( ) ( ) ( )1( ) ( )10000000 0 0 0j n nj n nj n ni i ii j i n i nnnnn nna a a a a aa a a a aa a a aa a aaa?????????????????????? ?() 167。 高斯消去法 高斯回代過程的通用遞推計算公式可寫為： ()1()( ) ( )11()()1 , 2 , , 3 , 2 , 1nnnn nnnnkkk n k j jjkk kkkaxaa a xx