概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章(2)(已修改)
2024-10-28 12:16 本頁面
【正文】 課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計課程組 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第四章 隨機變量的數(shù)字 特征 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特 性，但在一些實際問題中，只需知道隨機變量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù) . 評定某企業(yè)的經(jīng)營能力時，只要知道該企業(yè) 人均贏利水平； 研究水稻品種優(yōu)劣時，我們關(guān)心的是稻穗的 平均粒數(shù)及每粒的平均重量； 檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長 度，又要注意 纖維長度與平均長度的偏離程度， 平均長度越長、偏離程度越小，質(zhì)量就越好 。 考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù) 是否高，還要看他彈著點的范圍是否小，即數(shù) 據(jù)的波動是否小 . 由上面例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些 數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量，但能清晰 地描述隨機變量在某些方面的重要特征 , 這些 數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義 . 隨機變量某一方面的概率 特性 都可用 數(shù)字 來描寫 ? 隨機變量的平均取值 —— 數(shù)學(xué) 期望 ? 隨機變量取值平均偏離平均值的 情況 —— 方差 ? 描述兩個隨機變量之間的某種關(guān) 系的數(shù) —— 協(xié)方差 與 相關(guān)系數(shù) 本 章 內(nèi) 容 數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望的定義 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 數(shù)學(xué)期望的簡單應(yīng)用 引例 測量 50 個圓柱形零件直徑（見下表） 則這 50 個零件的平均直徑為 501012101115107988??????????尺寸（ cm） 8 9 10 11 12 數(shù)量（個） 8 7 15 10 10 50 數(shù)學(xué)期望的定義 換一個角度看，從這 50個零件中任取一個零件， 它的尺寸為隨機變量 X , 則 X 的概率分布為 X P 8 9 10 11 12 508507501550105010則這 50 個零件的平均直徑為 )(128128????? ???? kkkkpkXPkD稱之為這 5 個數(shù)字的 加權(quán)平均 ，數(shù)學(xué)期望的 概念源于此 . 設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk若無窮級數(shù) ???? 1k kkpx絕對收斂，則稱其和為隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望 ????? 1k kkpxEX定義 記為 否則，稱隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望不存在． 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 )(xf 若積分 ? ???? dxxxf )(絕對收斂 ,則稱此積分的值為隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望 ?? ???? dxxxfEX )(數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值 數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值 ,它是 一種 加權(quán)平均 . 記為 注 : 否則，稱隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望不存在． 解 : ? ????nkknkkn ppkCEX 0 )1(? ?????nkknk ppknknk1)1()!(! !? ??? ???????nkknk ppknknnp1)1()1(1 )1()!()!1()!1(?????? ??10)1(1 )1(nkknkkn ppCnpnp?例 EXpnBX 求數(shù)學(xué)期望已知 ),(~EXPX 求數(shù)學(xué)期望已知 ),0(),(~ ????EX ?? ???? ekkkk0 !例
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