高等代數(shù)【北大版】(47)(已修改)
2025-10-23 06:38 本頁面
【正文】 第十章 雙線性函數(shù) 167。 線性函數(shù) 167。 對偶空間 167。 雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 一、 對稱雙線性函數(shù) 二、反對稱雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 三、正交基 四、雙線性度量空間 167。 對稱雙線性函數(shù) 一、 對稱雙線性函數(shù) 1. 定義 設 為數(shù)域 P上線性空間 V上的一個雙線 性函數(shù)，如果對 V中任意向量 均有 則稱 為 對稱雙線性函數(shù) . ( , )f ??,??( , ) ( , ) ff? ? ? ??( , )f ??167。 對稱雙線性函數(shù) 命題 1 數(shù)域 P上 n 維線性空間 V上雙線性函數(shù) 是對稱的（反對稱的） 在 V的任意 一組基下的度量矩陣是對稱的（反對稱的） . ( , )f ???證 ：任取 V的一組基 12, , , ,n? ? ?1 2 1 2( , , , ) , ( , , , ) .nnXY? ? ? ? ? ? ? ???( , ) , ( )i j ij ijf a A a?? ??則 ( , ) 39。 .f X A Y?? ?2. 對稱雙線性函數(shù)的有關性質(zhì) 167。 對稱雙線性函數(shù) ( , ) ( , ) 39。 39。f f X A Y Y A X? ? ? ?? ? ?( , ) ( , )i j j iff? ? ? ???( 39。 ) 39。 39。 39。Y A X X A Y??同樣 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i j j if f f f? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?39。 39。 39。 39。X AY Y AX X A Y? ? ? ? ?39。.AA??ij jiaa??39。AA? ? ?167。 對稱雙線性函數(shù) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ff? ? ? ? ? ? ? ????( , ) ( , ) .i j i jf ? ? ? ??在 下的矩陣為 ( , )f ?? 12, , , n? ? ?1 1 11( , ) ( , ). ( , ) ( , )nn n nA? ? ? ?? ? ? ????????例 . :,f V V P?? ( , ) ( , ) ( , )f? ? ? ? ? ??且 為正定矩陣 . A 39。AA?167。 對稱雙線性函數(shù) 定理 5 設 V是數(shù)域 P上 n 維線性空間 . 是 V上對稱雙線性函數(shù)，則存在一組基 ，使 在這組基下的度量 矩陣為對角形 . ( , )f ??12, , , n? ? ? ( , )f ??證 ：只需證能找到一組基 ，使 12, , , n? ? ?( , ) 0 ,ijf i j?? ??1）若 則 , ( , ) 0 ,f? ? ? ???( , ) 0 .ijf ?? ?2）若 不全為 0，先證必有 ( , )f ?? 11( , ) 0 .f ?? ?167。 對稱雙線性函數(shù) 否則，若
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