高等代數(shù)【北大版】(47)(已修改)
2025-10-23 06:38 本頁面
【正文】 第十章 雙線性函數(shù) 167。 線性函數(shù) 167。 對偶空間 167。 雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 一、 對稱雙線性函數(shù) 二、反對稱雙線性函數(shù) 167。 對稱雙線性函數(shù) 三、正交基 四、雙線性度量空間 167。 對稱雙線性函數(shù) 一、 對稱雙線性函數(shù) 1. 定義 設(shè) 為數(shù)域 P上線性空間 V上的一個雙線 性函數(shù)，如果對 V中任意向量 均有 則稱 為 對稱雙線性函數(shù) . ( , )f ??,??( , ) ( , ) ff? ? ? ??( , )f ??167。 對稱雙線性函數(shù) 命題 1 數(shù)域 P上 n 維線性空間 V上雙線性函數(shù) 是對稱的（反對稱的） 在 V的任意 一組基下的度量矩陣是對稱的（反對稱的） . ( , )f ???證 ：任取 V的一組基 12, , , ,n? ? ?1 2 1 2( , , , ) , ( , , , ) .nnXY? ? ? ? ? ? ? ???( , ) , ( )i j ij ijf a A a?? ??則 ( , ) 39。 .f X A Y?? ?2. 對稱雙線性函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 167。 對稱雙線性函數(shù) ( , ) ( , ) 39。 39。f f X A Y Y A X? ? ? ?? ? ?( , ) ( , )i j j iff? ? ? ???( 39。 ) 39。 39。 39。Y A X X A Y??同樣 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i j j if f f f? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?39。 39。 39。 39。X AY Y AX X A Y? ? ? ? ?39。.AA??ij jiaa??39。AA? ? ?167。 對稱雙線性函數(shù) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ff? ? ? ? ? ? ? ????( , ) ( , ) .i j i jf ? ? ? ??在 下的矩陣為 ( , )f ?? 12, , , n? ? ?1 1 11( , ) ( , ). ( , ) ( , )nn n nA? ? ? ?? ? ? ????????例 . :,f V V P?? ( , ) ( , ) ( , )f? ? ? ? ? ??且 為正定矩陣 . A 39。AA?167。 對稱雙線性函數(shù) 定理 5 設(shè) V是數(shù)域 P上 n 維線性空間 . 是 V上對稱雙線性函數(shù)，則存在一組基 ，使 在這組基下的度量 矩陣為對角形 . ( , )f ??12, , , n? ? ? ( , )f ??證 ：只需證能找到一組基 ，使 12, , , n? ? ?( , ) 0 ,ijf i j?? ??1）若 則 , ( , ) 0 ,f? ? ? ???( , ) 0 .ijf ?? ?2）若 不全為 0，先證必有 ( , )f ?? 11( , ) 0 .f ?? ?167。 對稱雙線性函數(shù) 否則，若
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