概率論續(xù)(已修改)
2024-10-14 19:34 本頁面
【正文】 1 概 率 論 (續(xù)） 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象 統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科。 3 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 4 167。 1 大數(shù)定律 (laws of large numbers) ? 在給出大數(shù)定理之前，先介紹一個重要不等式 11,.一 定 的 條設(shè) 是 一 列 隨 機(jī) 變 量 ， 則 在隨 機(jī) 變 量 序 列 收 斂件到下內(nèi) ：容????nnnXXXXYn2問 ： （ 1 ） 一 定 的 條 件 是 什 么 ？ （ ） 隨 機(jī) 變 量 序 列 收 斂 到 的 含 義 ？題?nY5 ? ? ? ? ? ?? ?? ?22222,0, 5. 11 X E X D XPXPX???? ? ????????? ? ? ?? ? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 具 有 數(shù) 學(xué) 期 望 方定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 差 則 對 于 任 意 都 有 ：定 的 為：理 ：等 價 形 式? ? ? ? ,X X f x證 明 ： 僅 就 為 連 續(xù) 型 時 證 之 設(shè) 的 概 率 密 度 為? ? ? ?xP X f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DX ?????()fx??? ????6 22 2 2, , ,1( | | )例 ： 設(shè) E( ） （ ） 取 ＝ （ ）（ ） 則 有 ? ? ? ????? ? ?? ? ? ?X D X K D X KDXP X KKK3,1( | | 3 ) ( ( 3 , 3 ) ) .9若 取 則 有? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?KP X P X2( , )8( | | 3 ) ( 3 ) ( 3 ) .9而 當(dāng) 時 ，????? ? ? ? ? ? ? ? ?XNPX說 明 不 等 式 應(yīng) 用 面 廣 ， 但 結(jié) 果 較 粗 糙 。Chebyshev7 例 1：在 n重貝努里試驗中，若已知每次試驗事件 A出現(xiàn)的 概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁?,(1)若 n=7500,估計 A出 現(xiàn)的頻率在 ；（ 2）估計 n, 使 A出現(xiàn)的頻率在 。 nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0. 75bn?則 X, ? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?(2)? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??? ? ? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1Xn P P X n nn? ? ? ? ? ?? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 7 57500? ? ?8 ? ?? ?122111, , , ,1,01l i m l i m 1.1.nnnkknnknnknPkkX X XnYXnP Y P XnXn???? ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??????????? 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 相 互 獨 立 ， 且 具 有 相 同 的數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ， 作 前 個 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： 定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 即 ，? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn kli m P Xn ???? ???? ? ? ???
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