笫五章角動(dòng)量守恒(已修改)
2024-10-14 16:47 本頁面
【正文】 1 笫五章 角動(dòng)量守恒 1. 角動(dòng)量和力矩 2. 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 3. 質(zhì)心系的角動(dòng)量定理 4. 質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的運(yùn)動(dòng) 5. 對(duì)稱性與守恒定律 目 錄 2 ㈠ 角動(dòng)量與力矩 單位 : skgm /2 量綱 : 12 ?MTL大小 : ?s i nm r vL ? 角動(dòng)量是除動(dòng)量和能量之外的另一個(gè)守恒量 .它不但能描 述經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在近代物理理論中在表征狀態(tài)方 面也是不可缺少的一個(gè)基本量 . vmrPrL ????? ????方向由右手定則確定 一 .質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量被定義為位矢 r與動(dòng)量 mv的矢積 O X Y Z A B L?r? vm??3 討論 : ⑴ 角動(dòng)量是相對(duì)于給定的參考點(diǎn)定義的，且 參考點(diǎn)在所選的 參考系中必須是固定點(diǎn)。參考點(diǎn)不同，角動(dòng)量亦不同，如園錐擺。一般把參考點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，才有 ⑵ 角動(dòng)量是矢量，可用分量形式表示。 在直角坐標(biāo)系中 ? ?zyxzyxpppzyxkjiLLL????，vmp ?? ?其中： vmrPrL ????? ????0LrR0mv0?園錐擺的角動(dòng)量 4 二、力矩 作用力 F，其作用點(diǎn)的位矢為 r，它對(duì) o點(diǎn)的力矩被定義為 方向由右手定則確定 FrM ??? ??大小 : ?si nrFM ?在直角坐標(biāo)系中，其分量表示 ? ?zyxzyxFFFzyxkjiMMM????，F(xiàn)rdPzO?5 三 .質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 dtvmdF )( ??? ?0??? vv,vdt rd ?????dt)vm(dr)vmr(dtd ???? ????角動(dòng)量和力矩的物理意義體現(xiàn)在兩者所遵從的物理規(guī)律上 . dtvmdrFr )( ???? ???? ? ? ? ? ?vmdt rddt vmdrvmrdtd ???????????而 6 LddtM ?? ??或 ? ??21 12tt LLdtM ???表明角動(dòng)量的增量等于沖量矩（角沖量）的積分 —— 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 dtLdM???? ?PrdtdFr ???? ???（ 2）質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理系由牛頓定律導(dǎo)出，故它僅適用于慣性系 . 說明 : （ 1）各量均對(duì)同一參考點(diǎn) . 即 7 四 .質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理 0?M當(dāng) c o n stvmrL ??? ??守恒條件 : ⑴ F=0 ⑵ 力 F通過定點(diǎn) o，即有心力 . ⑶ 當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)的某一分量為零時(shí)，則 角動(dòng)量的該分量守恒： c on s tLMc on s tLMc on s tLMzzyyxx??????0008 例 一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止開始下滑 .求小球在 B點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)心的角動(dòng)量和角速度 . 解 :力矩分析 ?? c o sm g RM用角動(dòng)量定理： dtdLM ?dtm g RdL ?? c o s?? ? ? ??0 320 co s dgRmL d LL??? dgRmL d L c o s32dtdmRmRL ???? 22又 RgmR L ?? s i n22 ???s i n223 gmRL ?B A R ?O mg ?9 例題 擺長為 l的錐擺作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，擺線與鉛 垂線成 角，求擺球速率 . ?解：如圖，在圓錐擺的運(yùn)動(dòng)過程 中，擺球相對(duì)支點(diǎn) o的角動(dòng)量為 .L是一個(gè)可以繞 z軸 旋轉(zhuǎn)的矢量 .將其分解兩個(gè)分量 ,其大小分別為 vmrL ??? ???LLz,??c o ss i nm v lLm v lL z???顯然， 不變，而 隨時(shí)間改變 .如圖 ,有 zL?L①??? ??????? ?? co sm v lLLLzL?Lmg????l?o 10 另一方面，作用于擺球的外力有張力和重力，張力對(duì)支點(diǎn) o 無力矩，而重力矩的方向與圓周半徑垂直，其大小為 ②?si nm g lM ? 在式①兩邊都除以 ，并取 極限，利用角動(dòng)量 定理及式②，得 t?0??t??? s i nco s m g ldtdm v ldtdL ?? ??? c o ss i nvgdtd ?而 dtdlv ??s i n???co ss i n 22 glv ?由此解得 ???? c o sc o ss i n l
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