【正文】 課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告 課程名稱 課題名稱 專 業(yè) 班 級 學(xué) 號 姓 名 指導(dǎo)教師 2021 年 12 月 15 日 2 課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書 課程名稱 數(shù)值分析 課 題 初值問題、邊值問題 專業(yè)班級 學(xué)生姓名 學(xué) 號 指導(dǎo)老師 審 批 任務(wù)書下達(dá)日期 2021 年 12 月 5 日 任務(wù)完成日期 2021 年 12 月 15 日 3 目 錄 一、設(shè)計(jì)內(nèi)容與要求 ..............................................................................4 二、問題提出的背景 ...............................................................................6 三、問題的提出 .......................................................................................6 四、算法的理論依據(jù)及推導(dǎo) ...................................................................7 五、程序模塊 函數(shù)模塊 .............................................................................13 模塊流程圖 .........................................................................14 六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與調(diào)試 ..............................................................................24 七、心得體會(huì) ..........................................................................................27八、附件 ..................................................................................................28 4 一 、設(shè)計(jì)內(nèi)容與設(shè)計(jì)要求 1．設(shè)計(jì)內(nèi)容： 對課程《計(jì)算方法》中的常見算法進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)或應(yīng)用（具體課題題目見后面的供選題目）。 2．設(shè)計(jì)要求： ? 課程設(shè)計(jì)報(bào)告正文內(nèi)容 a. 問題的描述及算法設(shè)計(jì)； b. 算法的流程圖（要求畫出模塊圖 ）； c. 算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)； d. 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過程序調(diào)試 )，； e. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析； f. 附件（所有程序的原代碼，要求對程序?qū)懗霰匾淖⑨專? ? 書寫格式 a．要求用 A4 紙打印成冊 b．正文格式： 一級標(biāo)題用 3號黑體 ,二級標(biāo)題用四號宋體加粗 ,正文用小四號宋體 。行距為 22。 c．正文的內(nèi)容 :正文總字?jǐn)?shù)要求在 3000字左右（不含程序原代碼）。 d．封面格式如下頁。 ? 考核方式 指導(dǎo)老師負(fù)責(zé)驗(yàn)收程序的運(yùn)行結(jié)果，并結(jié)合學(xué)生的工作態(tài)度、實(shí)際動(dòng)手能力、創(chuàng)新精神和設(shè)計(jì)報(bào)告等進(jìn)行綜合考評，并按優(yōu)秀、良好、中等、及格和不及格五 個(gè)等級給出每位同學(xué)的課程設(shè)計(jì)成績。具體考核標(biāo)準(zhǔn)包含以下幾個(gè)部分： a．平時(shí)出勤 （占 10%） b．系統(tǒng)需求分析、功能設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及程序總體結(jié)構(gòu)合理與否（占 10%） c．程序能否完整、準(zhǔn)確地運(yùn)行，個(gè)人能否獨(dú)立、熟練地調(diào)試程序（占 40%） d．設(shè)計(jì)報(bào)告（占 30%） 注意：不得抄襲他人的報(bào)告（或給他人抄襲），一旦發(fā)現(xiàn)，成績?yōu)榱惴帧? e．獨(dú)立完成情況（占 10%）。 ? 課程驗(yàn)收要求 a．判定算法設(shè)計(jì)的合理性，運(yùn)行相關(guān)程序，獲得正確的數(shù)值結(jié)果。 5 b．回答有關(guān)問題。 c．提交課程設(shè)計(jì)報(bào)告。 d．提交軟盤（源程序、設(shè) 計(jì)報(bào)告文檔）。 e．依內(nèi)容的創(chuàng)新程度，完善程序情況及對程序講解情況打分。 進(jìn)度安排 班級： 主講教師：輔導(dǎo)教師： 上機(jī)時(shí)間安排： 第 12 周 星期一 8 時(shí)： 30分 —— 11時(shí)： 30 分 星期三 8 時(shí)： 30分 —— 11時(shí)： 30 分 星期五 8時(shí)： 30 分 —— 11 時(shí)： 30分 第 13 周 星期三 8 時(shí)： 30分 —— 11時(shí)： 30 分 星期五 8時(shí)： 30 分 —— 11 時(shí)： 30分 二、 問題提出的背景 人類社會(huì)進(jìn)入 20 世紀(jì)以來，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時(shí) 6 世界各國的人口也以空前的規(guī)模增長。我們知道人口是反應(yīng)國情、國力基本情況的重要指標(biāo)，例如評價(jià)一個(gè)國家或一個(gè)地區(qū)的發(fā)展?jié)摿r(shí)離不開現(xiàn)在與今后各類人口數(shù)量比例指數(shù)和年齡分布。故人口的預(yù)測是制定和順利實(shí)現(xiàn)社會(huì)經(jīng)濟(jì)各項(xiàng)戰(zhàn)略設(shè)想的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，制定正確人口政策的科學(xué)依據(jù)。 三、問題的提出 常用的用于人口預(yù)測的模型是阻滯增長模型，即 Logistic 模型。 該模型的微分方程為： 0222 )0(, yyybllxxbdxdym???? ， （其中：2b為固有增長率（即人口平均增長率）， l 表示平均人口死亡率，mx表示在自然資源和環(huán)境條件允許的條件下所能容納的最大人口數(shù)量，稱為人口容量。） 利用分離變量法可以求解得： rtmmeyyyty???)1(1)(0 ，分別用顯示歐拉法，隱式歐拉法，改進(jìn)歐拉法，梯形公式，經(jīng)典龍格 — 庫塔法，理查德森外推法近似求解，得出估算人口； : ????????????)(,)(]),[,0)()(()(39。39。byaybaxxqxyxqy 四、算法的理論基礎(chǔ)及其推導(dǎo) 顯示歐拉公式： ）（ 1,.......2,1,0),(1 ????? niyxhfyy iiii 推導(dǎo)：把區(qū)間 [a,b]分成 n 等分，記分點(diǎn)為 7 ).........,2,1,0。(, nin abhihax i ????? 那么由上式有： ))(,()(39。 iii xyxfxy ? 用向前差商法近似代替導(dǎo)數(shù)得： ))(,()()( 1 iiii xyxfh xyxy ??? 即： ))(,()()( 1 iiii xyxhfxyxy ??? 若用近似值iy代替 )(ixy，可得顯示歐拉公式。 隱式歐拉公式： ）（ 1,.......2,1,0),( 111 ???? ??? niyxhfyy iiii 推導(dǎo)：把區(qū)間 [a,b]分成 n 等分，記分點(diǎn)為 ).........,2,1,0。(, nin abhihax i ????? 用向后差商法近似代替導(dǎo)數(shù)得： ))(,()()( 1 iiii xyxfh xyxy ?? ? 即 ： ），（ nixyxhfxyxy iiii ,.. ...,2,1))(,()()( 1 ??? 亦即： ），（ 1,.. ...,1,0))(,()()( 111 ???? ??? nixyxhfxyxy iiii 若用近似值 iy 代替 )( ixy ，可得顯示歐拉公式。 梯形公式 ： )1, . . . . ,1,0()],(),([2111 ????? ??? niyxfyxfhyyiiiiii 推導(dǎo)：把區(qū)間 [a,b]分成 n 等分，記分點(diǎn)為 ). . . . . . . . . ,2,1,0。(, nin abhihaxi ????? 分別由顯示歐拉公式和隱式歐拉公式，求其平均值可得。 改進(jìn)歐拉方法： )1, . . . . ,1,0())],(,(),([2 11 ?????? ?? niyxhfyxfyxfhyy iiiiiiii 8 推導(dǎo)：把區(qū)間 [a,b]分成 n 等分，記分點(diǎn)為 ).........,2,1,0。(, nin abhihax i ????? 由顯示歐拉公式和梯形公式，可得改進(jìn)歐拉公式。