wureverse第4章機械振動yh(已修改)
2025-05-27 01:21 本頁面
【正文】 力學 振動力學 授課教師 楊宏春 力學 內(nèi)容結構 力學的內(nèi)容結構體系 振動力學 動力學方程 簡諧振動的動力學方程與運動學方程 典型簡諧振動的動力學方程 (1) 彈簧諧振子 )()( tkxtF ??諧振子模型 牛頓第二定律 22d)(d)(ttxmtF ? F o x x y (2) 單擺 回復力方程 )( tmgF ???牛頓第二定律 ???????22d)(d)(ttlmtF ?xt x 222dd ???mk?2???? 222dd ??tlg?2? mg T F ? (3) 復擺 回復力矩方程 ?m g hM ??剛體轉(zhuǎn)動定律 22dd tIM ????? 222dd ??tIm gh?2?(4) LC振蕩電路 tiL dd???線圈電動勢 ??? tiCCqU d1電容電壓 it i 222dd ???LC12 ??討論 ? 各類簡諧振動問題的動力學方程具有相同形式的微分方程 ? 動力學方程中， ?2 包含了各典型振動的具體特征 振動力學 動力學方程 例 比重計圓筒半徑為 d，液體密度為 ?， 不計液體粘滯阻力 證明 ：用力下壓處于平衡的比重計，放手后比重計將作簡諧振動 x 證明 ：以比重計平衡位置為原點建立圖示坐標系 平衡時 gVmg ??偏離平衡位置位移為 x 時 mggxdVF ???? ?])2(π[ 2gxdF ?2)2(π??振動力學 動力學方程 由牛頓第二定律可得比重計運動的動力學方程為 xm gdt x 4πdd 222 ???定義 得 mgd4π 2 ?? ? xt x 222dd ??? 簡諧振動的運動學方程 振動力學 運動學方程 xt x 222dd ???簡諧振動動力學方程的一般形式 0dd 222 ??? xt x ?動力學方程的解 —— 運動學方程 )co s ( ?? ?? tAx(1) 運動學方程 簡諧振動的速度、加速度 )si n (dd ??? ???? tAtxv )co s(dd 2 ??? ???? tAta v F o x x y 簡諧振動總能量 222 212121 kAkxmE ??? v(2) 描述簡諧振動的解析參量 振動力學 運動學方程 振幅 (A) 諧振子距離平衡位置最大位移的絕對值 振幅還表示了振動系統(tǒng)的總能量 E ? A2， (E =kA2/2) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 181 .00 .50 .00 .51 .0 x? t+ ?0 2 4 6 8 10 12 14 16 181 .00 .50 .00 .51 .0 x? t+ ?0 2 4 6 8 10 12 14 16 181 .00 .50 .00 .51 .0 x? t+ ?全振動 諧振子從某振動狀態(tài)開始，發(fā)生周而復始的一次變化 周期 (T) 諧振子完成一次全振動所需時間 頻率 (f) 單位時間內(nèi)諧振子完成全振動的次數(shù) 角頻率 (?) 諧振子在 2? 秒 內(nèi)所作的全振動的次數(shù) ?? π2π2 ??T? ? )c o s ()(c o s ???? ???? tATtAT1??振動力學 運動學方程 初相位 (?) 振子的初始振動狀態(tài) 相位 (?t+?) 振子 t 時刻的振動狀態(tài) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 181 .00 .50 .00 .51 .0 x? t+ ? ? 課堂討論 ：相位參量的雙值問題及求解 ?????? ??? )( )(a r ct a n tx tt ??? v)co s ( ?? ?? tAx運動學方程 )si n (dd ??? ???? tAtxv速度方程 結論 ：時刻 t，相位參數(shù)的雙值問題可以通過運動學方程和速度方程判定 例 已知 A= m， T=2 s。當 t=0 時， x0= m，且 vx0 求 ： (1) 諧振動方程 (2) 當 t=2 s 時，質(zhì)點的位置、速度、加速度 (3) 由初始時刻到 x= m 處所需的最短時間 解 ： (1) 因 T = 2 s ππ2 ??? T?3π???振動力學 運動學方程 A= m， T=2 s， x0= m )co s ( ?? ?? tAx3π???運動學方程 )3ππco s( ?? tx0s i n0 ??? ??Av(2) 當 t= s 時，質(zhì)點的位置、速度、加速度 x= m， v= m/s， a= m/s2 (3) 當 x= m 時，由運動學方程 3π4,3π23ππ)3ππco s( ?????? tt由題意，質(zhì)點沿 x 負方向運動到 x= m所需時間最短 10)3ππsi n ( ?????? ttv振動力學 運動學方程 例 證明勻速圓周運動在 x軸上的分量是一簡諧振動 x ? A v 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 .0 0 .50 .00 .51 .0 x? t+ ?證明 ：物體角速度 ?，初始位置與 x 軸夾角為 ?，時刻 t 在 x 軸上的位移 )co s ( ?? ?? tAx滿足簡諧振動運動學方程，勻速圓周運動在
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