【正文】 課 程 名 稱 ： 《 隨 機 過 程 》 課程設計（論文） 題 目 : 平穩(wěn)時間序列 MA(q)模型的計算 隨機過程課程設計 2 目 錄 任務書 ................................................................... 3 摘 要 ................................................................... 4 ............................................................... 1 ....................................................... 1 模型的識別 ........................................................ 1 MA(q)序列的自相關函數(shù) ....................................... 2 MA(q)序列的偏相關函數(shù) ....................................... 3 樣本的自相關和偏相關函數(shù) .......................................... 5 樣本的自相關函數(shù) ............................................. 5 樣本偏相關函數(shù)與自相關函數(shù)的關系 ............................ 6 模型的參數(shù)估計 .................................................... 6 結果 ......................................................... 7 .......................................................... 13 .................................................................. 13 .............................................................. 13 附 錄 .................................................................. 14 隨機過程課程設計 3 《隨機過程》 課程設計任務書 姓名 呂超 學號 2020027143 指導教師 蔡吉花 設計題目 平穩(wěn)時間序列的 MA(q)模型的計算 理論要點 時間序列分析是根據(jù)系統(tǒng)觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)判別時間序列模型以及怎樣確定模型的參數(shù)和階數(shù)，確定平穩(wěn)時間序列模型的類型，看是否是要研究的 MA（ q） 模型 .然后運用此模型進行相關分析。 設計目標 通過課程設計，獨立完成所給出的課題。通過課題的理論設計和在計算機中實驗調(diào)試代碼，加深計算理論知識的理解，培養(yǎng)計算軟件開發(fā)的實踐技能，提高分析解決具體問題的能力。 研究方法步驟 ① 獲 取被觀測系統(tǒng)時間序列數(shù)據(jù)。 ② 根據(jù)數(shù)據(jù)作相關圖，進行相關分析，求自相關函數(shù) 和偏相關函數(shù) 。③ 判斷該數(shù)據(jù)符合 MA(q)模型 ,最后由參數(shù)估計求出 MA(q)模型 預期結果 由已知的一組平穩(wěn)時間序列的數(shù)據(jù)，編寫 matlab 程序求出自相關函數(shù)和偏相關函數(shù) ,并且畫圖判別平穩(wěn)時間序列符合 MA(q)模型 ,由參數(shù)估計求 出 MA(q)模型 . 隨機過程課程設計 4 計劃與進步的安排 課程安排一周，分 4 次完成： 第一次（ 1 天）：審題并查找相關資料， 第二次（ 23 天）：對相關資料進行整理和分析， 第三次 (46 天 )：編寫程序進行求解并撰寫論文， 第四次（ 7 天）：對論文進行整體檢查和排版。 參考資料 [1]吳懷宇 時間序列分析與綜合 武漢大學出版社 [2]周蔭清 隨機過程理論 電子工業(yè)出版社 [3]劉次華 隨機過程（第五版） 華中科技大學出版社 [4]田錚 時間序列的理論與方法 高等教育出版社 施普林格出版社 填寫時間 2020 年 12 月 15 日 摘 要 時間序列是指按照時間先后的順序排列的隨機序列，或者說是定義在概率空間( , , )p? 上的一串有序隨機變量集合 ?? , 0, 1,...tXt?? ，簡記為 ??tX ；它的每一個樣本（現(xiàn)實）序列，是指按時間先后順序?qū)?X 所反映的具體隨機現(xiàn)象或系統(tǒng)進行觀測或試驗得到的一串動態(tài)數(shù)據(jù) ?? , 0, 1,...txt?? 。所謂時間序列分析，就是根據(jù)有序隨機變量或者觀測到的有序數(shù)據(jù)之間相互依賴所包含的信息，用概率統(tǒng)計方法定量的建立一個合適的數(shù)學模型，并根據(jù)這個模型對所相應序列所反映的過程或系統(tǒng)做出預報或進行控制。 本文主要研究自回歸模型 (線性模型 )，首先對 MA（ q） 模型的理論作相關分析，包括模型的識別、模型的定階方法、求樣本的自（或偏）相關函數(shù)、模型的參數(shù)估計以及模型的預報。再通過引例，用 Matlab 程序?qū)?化學反應過程中記錄的濃度的 197 個數(shù)據(jù)進行分析，找出其變化規(guī)律，先將已知數(shù)據(jù)標準化，然后求出其變自相關函數(shù)和偏 相關函數(shù)，再畫出圖像，根據(jù)圖像判別相關函數(shù)的拖尾，截尾性，最后確定一個具體的 MA（ q） 模型。 關鍵字： 平穩(wěn)時間序列，自相關函數(shù)，偏相關函數(shù)， MA(q)模型 隨機過程課程設計 5 隨機過程課程設計 1 平穩(wěn)時間序列的 MA(q)模型的計算 1. 基本原理 MA（ q） 模型： 設 ??t? 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，階數(shù)為 q的滑動平均模型定義為 11t t t q t qa a a????? ? ? ? ? () 其中 ? ?, 1, 2,k kq? ? 稱為滑動平均系數(shù)，并簡記公式 (1)為 ()MAq 。滿足 ()MAq 的隨機序列稱為 MA(q)序列。用延遲算子表示，以上 (1)公式可以寫成 ()ttBa??? () 1( ) 1 qqB B B? ? ?? ? ? ? () 對于 ()中的 ()MAq 模型，若滿足條件： ( ) 0B? ? 的根全在單位圓外，即所有根的模于 1，則稱此條件為 MA(q)模型的可逆性條件。當模型滿足可逆性條件時， 1()B?? 存在，此時公式 (2)可以寫成 1()ttaB???? 它稱為逆轉(zhuǎn)形勢，模 型 ()中的 t? 可以看做是白噪聲序列 ??ta 輸入線性系統(tǒng)中的輸出。 對于一個平穩(wěn)時間序列預測問題，首先要考慮的是尋求與它擬合最好的預測模型。而模型的識別與階數(shù)的確定則是選擇模型的關鍵。 2. 問題的分析與求解 要想運用平穩(wěn)時間序列模型對實際生活中的問題進行預報和控制，首先我們得知道是哪類時間序列模型，然后才能運用此模型進行相關分析。因此，如何判別時間序列模型以及怎樣確定模型的參數(shù)成為解決本問題的關鍵。 模型 的識別 由隨機過程分析知，利用白噪聲 ta 的特性，對于任一相關隨機時序? ?, 0, 1,...tXt?? ，總可用一個互相獨立的正態(tài)白噪聲序列 ta 經(jīng)線性濾波作用而得到。也就是說，以 ta 為輸入，由濾波器將 ta “加權疊加”，給出輸出時序 tX 。 這種輸入、輸出及濾波器三者之間的關系可用模型 1 1 2 2 00 ( 1 )t t t t j t jjX a a a a? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ??