【正文】 第五章 時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法 第一節(jié) 隨機(jī)時(shí)間序列的特征 第二節(jié) 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型 167。 隨機(jī)時(shí)間序列的特征 一、隨機(jī)時(shí)間序列模型簡介 二、刻畫時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) 三、時(shí)間序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn) 四、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 一、隨機(jī)時(shí)間序列模型簡介 前提假設(shè) ：時(shí)間序列是由某個(gè)隨機(jī)過程生成的。 即，假定序列 Y1,Y2,…, YT 的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到。 注意： 模型不必（一般也不會(huì)）與序列的過去實(shí)際行為完全一致，因?yàn)樾蛄泻湍Ｐ投际请S機(jī)的，只要模型能夠刻畫序列的隨機(jī)特征就可以應(yīng)用。 1. 時(shí)間序列過程 ? 規(guī)范地，一個(gè) 標(biāo)有時(shí)間腳標(biāo)的隨機(jī)變量序列 被稱為一個(gè) 隨機(jī)過程 (Stochastic process)或 時(shí)間序列過程 (time series process)。 ? 當(dāng)搜集到一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)集時(shí)，就得到該 隨機(jī)過程的一個(gè)可能結(jié)果 或 實(shí)現(xiàn) (realization)。 ? 該時(shí)間序列 所有可能的實(shí)現(xiàn)集 ，相當(dāng)于橫截面分析中的 總體 。 ? 樣本容量就是我們觀察的時(shí)期數(shù)。 美國通貨膨脹和失業(yè)率部分?jǐn)?shù)據(jù)表 year 通貨膨脹率 (%) 失業(yè)率 (%) 1948 1949 1950 1951 ﹕ ﹕ ﹕ 1998 1999 2023 2023 2023 2023 2. 白噪聲和隨機(jī)游走 ? 另一個(gè)簡單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為 隨機(jī)游走(random walk)， 該序列由如下隨機(jī)過程生成： Yt = Yt1 + ?t 這里 ， ?t 是一個(gè)白噪聲 。 ? 一個(gè)最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立同分布序列： Yt = ?t ， ?t ~ N(0,?2) 該序列常被稱為是一個(gè) 白噪聲 (white noise)。 ? 對隨機(jī)游走過程的預(yù)測： 1 1 11? ( , , )()T T TT T TY E Y Y YY E Y?????? ? ? T+1期的預(yù)測： 2 2 1 1 212? ( , , ) ( )T T T T TT T T TY E Y Y Y E YE Y Y???? ? ? ???? ? ?? ? ? ? T+2期的預(yù)測： 類似地， T + l 期的預(yù)測也是 YT 。 預(yù)測誤差的方差隨著 l 的增大而增大。 T +l 期的預(yù)測誤差的方差為 。 2l ?? ? 帶漂移的隨機(jī)游走過程 1t t tY Y d ??? ? ? 如果 d 0，平均而言過程向上移動(dòng)， T+1期的預(yù)測為： T + l 期的預(yù)測則是： 1 1 1? ( , , )T T T TY E Y Y Y Y d??? ? ??T l TY Y ld? ?? 預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn)誤差同隨機(jī)游走過程。預(yù)測值隨 l增加而線性增加，預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差隨 而增大。 3. 平穩(wěn)和非平穩(wěn)時(shí)間序列 ? 經(jīng)典回歸分析 暗含 著一個(gè)重要 假設(shè) ： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 ? 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) ，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ) ——“一致性”要求 —— 被破懷。 ? 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機(jī)變量 ? 放寬該假設(shè)： X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步假定： X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ? 不相關(guān) ∶ Cov(X,?) = 0 (1) 平穩(wěn)性與經(jīng)典回歸 任一隨機(jī)時(shí)間按序列 Y1,Y2,…, YT 都可以被認(rèn)為是由一組聯(lián)合分布隨機(jī)變量生成，即 Y1,Y2,…, YT代表一個(gè)聯(lián)合概率分布函數(shù) 的某一特定結(jié)果。那么，一個(gè)未來的觀測 Yt+1可以認(rèn)為是由條件概率分布函數(shù) 生成，即 是給定過去觀測值 Y1,Y2,…, YT下的 Yt+1的概率分布。定義平穩(wěn)過程為其聯(lián)合分布和條件分布均不隨時(shí)間而變化的過程。即如果 Yt是平穩(wěn)，則對任意的 t， k和 m，都有： (2) 平穩(wěn)過程的性質(zhì) 12( , , , )Tp Y Y Y1 1 2( , , , )TTp Y Y Y Y?1 1 2( , , , )p Y Y Y Y?( , , ) ( , , )( ) ( )t t k t m t k mt t mp Y Y p Y Yp Y p Y? ? ? ????且 如果時(shí)間序列 Yt 滿足： 1）均值 E(Yt)=? 是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Yt)=?2是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Yt,Yt+k)=?k 是 只與時(shí)期間隔 k 有關(guān) ， 與時(shí)間 t 無關(guān) 的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是 平穩(wěn)的 （ stationary)，而該隨機(jī)過程是一 平穩(wěn)隨機(jī)過程 （ stationary stochastic process） 。 問題： 白噪聲過程是否平穩(wěn)？ 隨機(jī)游走過程是否平穩(wěn)？ 如果 Yt 是隨機(jī)游走過程，對 Yt 取一階差分 (first difference): ?Yt =Yt ?Yt1= ?t 由于 ?t 是一個(gè)白噪聲，則序列 ?Yt 是平穩(wěn)的。 如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 (3) 齊次非平穩(wěn)過程 如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，經(jīng)過一次或多次差分后成為平穩(wěn)序列，產(chǎn)生這樣的非平穩(wěn)序列的隨機(jī)過程稱為 齊次隨機(jī)過程 。原序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列所需的差分次數(shù)稱為 齊次的階數(shù) 。 如果 Yt 是 一階齊次非平穩(wěn)過程 ，則序列 : Wt =Yt ?Yt1= ?Yt 就是平穩(wěn)的。 如果 Yt 是 二階齊次非平穩(wěn)過程 ，則序列： Wt = ?Yt ? ?Yt1= ?2Yt 就是平穩(wěn)的。 (4) 單整與非單整 ? 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)序列 ,也稱 原序列 是 1階單整 (integrated of 1)序列 , 記為 I(1)過程。如果經(jīng)過 d 次差分 后變成平穩(wěn)序列 , 則稱原序列是 d 階單整 (integrated of d), 記為I(d)。 ? I(0)代表平穩(wěn)時(shí)間序列 。 ? 多次差分無法變?yōu)槠椒€(wěn)的時(shí)間序列稱為 非單整 的 (nonintegrated)。 只有當(dāng) 1 ? 1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。 2)? =1時(shí) , 是一個(gè)隨機(jī)游走過程 , 也是非平穩(wěn)的 . ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(k)過程 的特例： Yt = ?1Yt1+?2Yt2…+ ?kYtk 該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在后面討論。 ? 隨機(jī)游走過程 是 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 Yt = ?Yt1 + ?t 1)|?|1時(shí) ， 該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的 ， 表現(xiàn)為持續(xù)上升 (? 1)或持續(xù)下降 (? 1)，因此是非平穩(wěn)的； 定義序列 Yt 的滯后期為 k的自相關(guān)系數(shù)為： 對于平穩(wěn)過程，有： 二、刻畫時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) 22[( )( )] cov ( , )[( ) ] [( ) ] t t kt Y t k Y t t kkYYt Y t k YE Y Y Y YE Y E Y????????????????? 220[( )( )] cov ( , )t Y t k Y t t k kkYYE Y Y Y Y? ? ??? ? ?????? ? ?1. 自相關(guān)函數(shù)與 Q 統(tǒng)計(jì)量 例如， 假設(shè)隨機(jī)過程是 Yt = εt，其中 εt 是均值為零的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。則： ρ0 = 1，且對于 k 0， ρk = 0成立，即 Yt 是白噪聲過程，最好地預(yù)測報(bào)白噪聲的模型是 ? 0TlY ? ? 如果對所有的 k 0，序列的自相關(guān)函數(shù)為 0或近似為 0，則沒有必要建模預(yù)測該序列。 在實(shí)際應(yīng)用中，需要估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，即樣本自相關(guān)函數(shù)：