【正文】 9 嵌期權(quán)債券定價(jià)對(duì)嵌有期權(quán)的債券進(jìn)行定價(jià)，比無期權(quán)債券更為復(fù)雜，這主要表現(xiàn)為嵌期權(quán)債券未來的現(xiàn)金流不能完全確定，即嵌期權(quán)債券的現(xiàn)金流與未來某些或有事件有關(guān)，如在設(shè)有利率上限和利率下限條款的債券中，其實(shí)際適用的利率，取決于將來的市場(chǎng)利率變化，是事先無法確切知道的。由于嵌期權(quán)債券有這些獨(dú)特性，本章專門就此加以討論。10 債券嵌期權(quán)概述 概論理論上講，任何期權(quán)都可以根據(jù)需要嵌入債券中，作為債券條款的有機(jī)組成部分。常見的債券嵌式期權(quán)主要包括：贖回權(quán)、回售權(quán)、轉(zhuǎn)股權(quán)、轉(zhuǎn)股價(jià)修正權(quán)、提前償付權(quán)、本息截留權(quán)、利率上下限選擇權(quán)等。對(duì)嵌有期權(quán)的債券進(jìn)行定價(jià)，比無期權(quán)債券更為復(fù)雜，這主要表現(xiàn)為嵌期權(quán)債券未來的現(xiàn)金流不能完全確定，即嵌期權(quán)債券的現(xiàn)金流與未來某些或有事件有關(guān)，如在設(shè)有利率上限和利率下限條款的債券中，其實(shí)際使用的利率與市場(chǎng)利率的波動(dòng)性有密切關(guān)系，即如果市場(chǎng)利率高于利率上限時(shí)，利率上限債券的實(shí)際利率將是利率上限；而當(dāng)市場(chǎng)利率低于保底利率時(shí)，利率下限債券的實(shí)際利率將是其下限利率。但具體是按什么利率計(jì)算，完全取決于市場(chǎng)利率的變化。利率的不同，債券的利息收入也就不同。正如在介紹現(xiàn)金流時(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)的，對(duì)現(xiàn)金流的完整定義包括現(xiàn)金流量的大小、方向和時(shí)間，三者缺一不可。期權(quán)的嵌入，不僅可能影響債券現(xiàn)金流的大小、還可能影響現(xiàn)金流的方向和時(shí)間。例如可贖回債券，其贖回價(jià)格與債券的市場(chǎng)價(jià)格的不一致，就會(huì)影響債券現(xiàn)金流的大??；贖回期與債券到期日不同，則影響現(xiàn)金流的時(shí)間；。而利率上下限選擇權(quán)，則有些期權(quán)，如全部或零值期權(quán)，還可能影響投資者現(xiàn)金流的方向。除了影響債券現(xiàn)金流的大小、方向和時(shí)間外，期權(quán)還可將能影響債券適用的利率。要對(duì)嵌期權(quán)債券定價(jià)，這幾種影響都必須加以考察。對(duì)于現(xiàn)金流，通常以債券現(xiàn)金流出現(xiàn)某種情況的概率來衡量其可能出現(xiàn)的差異。對(duì)利率的變化，也可以通過假定利率變動(dòng)的分布情況、及可能變成某些值的概率進(jìn)行分析。以概念對(duì)利率可能隨時(shí)間而變化的情況加以分析和說明的模型，被稱為利率模型(Interest Rate Model)。即通過假定短期利率與利率波動(dòng)性之間的關(guān)系，如假定利率和利率的波動(dòng)值符合正態(tài)分布，從而構(gòu)造出某一時(shí)間段后，利率的變化情況分布，如利率樹(Interest Rate Tree)。其中，僅對(duì)短期或長(zhǎng)期利率進(jìn)行預(yù)測(cè)、排樹的模型稱為單因素模型(OneFactor Model)，；有些模型能同時(shí)對(duì)短期和長(zhǎng)期利率進(jìn)行預(yù)測(cè)的，則稱為雙因素模型(TwoFactor Model)。雖然不同模式所選擇的變量不同，但基本原理都是一致的，即假定都是以利率與利率的及其波動(dòng)性之間呈現(xiàn)某種特定的關(guān)系為基礎(chǔ)。在具體排樹，即繪制利率樹時(shí)，有些模型時(shí)假定某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)后，利率可能出現(xiàn)兩種情況，有的模型則是假定可能出現(xiàn)三種或更多的情況。前者被稱為二叉樹模型或雙因子模型(Binomial Model)，后者被稱為三叉樹或三因子模型(Trinomial Model)或多因素模型(Multinomial Model)。以利率的未來變化呈二項(xiàng)分布為基礎(chǔ)的在計(jì)算無期權(quán)債券的價(jià)值時(shí)，基本的思路是把將來的現(xiàn)金流按即期利率折現(xiàn)為現(xiàn)值，現(xiàn)值的總和就是債券的價(jià)值。嵌期權(quán)債券的價(jià)值計(jì)算雖然相對(duì)較為復(fù)雜些，但基本的思路仍然一樣，只是要對(duì)現(xiàn)金流做出調(diào)整，所使用的利率可能不是直接使用即期利率，而是通過利率模型調(diào)整后的利率樹中的利率。無論作什么樣的調(diào)整，在價(jià)值計(jì)算中，都假定現(xiàn)金流和利率樹利率將使債券定價(jià)的套利價(jià)格為零，這是最基本的債券定價(jià)思路。本章將對(duì)常用的二叉樹模型，是相對(duì)較為簡(jiǎn)單和直觀的模式之一，本章將重點(diǎn)對(duì)此加以介紹，并運(yùn)用這一模型對(duì)可贖回債券、回售債券、利率上限債券等的價(jià)格進(jìn)行分析討論。 二叉樹模型假設(shè)下一時(shí)段的利率分布呈二項(xiàng)分布，且同一時(shí)段不同點(diǎn)的變化利率的貼現(xiàn)系數(shù)，與當(dāng)前時(shí)點(diǎn)上市場(chǎng)的即期利率所隱含的貼現(xiàn)系數(shù)相等，市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，是構(gòu)建本章中的利率樹的基礎(chǔ)，也是運(yùn)用本章的二叉樹模式對(duì)債券定價(jià)析基礎(chǔ)。正如前面提到的，二叉樹模型是假定經(jīng)過一個(gè)時(shí)段后，利率有兩種可能的變化情況。在市場(chǎng)上，下一階段利率究竟將有怎樣的變化，根據(jù)無套利定價(jià)的基本原理，需要用新發(fā)債券利率的期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行推導(dǎo)，這是應(yīng)用二叉樹模型的基礎(chǔ)。 二叉樹模型的利率樹 本節(jié)中根據(jù)利率期限結(jié)構(gòu)和二項(xiàng)分布概率，計(jì)算二叉樹利率的算法，是作者設(shè)計(jì)的，尚未在其他文獻(xiàn)中發(fā)表和驗(yàn)證過，僅供參考。所謂二叉樹模型的利率樹，只不過是基于短期利率波動(dòng)的某一假設(shè)條件下，利率波動(dòng)可能性的一種圖形描述。這一模型的基本理論假定包括以下幾個(gè)方面：一是是：A． 下下一期的利率波動(dòng)只有兩種可能的情況：上升或下降；二是B． 各期利率上升或下降的概率保持不變；三是C． 各期利率的分布為隨機(jī)分布，且符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布；四是D． 各期利率的利率波動(dòng)性保持不變。根據(jù)這些假定，如果利率的波動(dòng)性為δθ，則利率上升的比例u和下降的比例d就分別為： （91）圖表 01簡(jiǎn)單二叉樹模型利率樹圖91 二叉樹模型利率樹圖91 二叉樹模型利率樹假如市場(chǎng)平均利率為104%，其年波動(dòng)值(利率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差)為3520%，按波動(dòng)率的計(jì)算公式，%。根據(jù)前面的假定，則其每月的變化值，%%。%，%，%%%。從上圖可以看到，二叉樹模型在假在假定下期利率只有兩種變化的基礎(chǔ)上，通過分析各種可能的變化，即初始232。漲232。漲。漲，初始232。跌232。跌。跌，以及初始232。漲232。跌。等不同的情況，從而構(gòu)造出多個(gè)時(shí)間階段后的利率分布情況。上圖中最后一列列出的是出現(xiàn)這種利率的概率，其計(jì)算公式為： （92） 這種估計(jì)遠(yuǎn)期計(jì)算未來利率分布的方法使用很少，主要原因是這一方法所假定的未來利率分布呈上漲和下跌概率不變的二項(xiàng)分布，缺乏根據(jù)市場(chǎng)變化對(duì)所推導(dǎo)利率進(jìn)行修正或調(diào)整，從而可能使理論與實(shí)際的市場(chǎng)情況存在較大誤差的可能。因?yàn)閷?duì)于大多數(shù)較為成熟的金融市場(chǎng)，都有對(duì)未來的利率預(yù)期，例如利率期限結(jié)構(gòu)等市場(chǎng)對(duì)遠(yuǎn)期市場(chǎng)的預(yù)期，完全可以作為可以作為推推算遠(yuǎn)期利率的修正基礎(chǔ)基礎(chǔ)。上面的方法僅根據(jù)某一個(gè)點(diǎn)的利率，并在一系列假定的基礎(chǔ)上作的利率推算，誤差可能會(huì)比以遠(yuǎn)期利率為基礎(chǔ)推算的利率分布更大。對(duì)理論推測(cè)進(jìn)行修正的基本思路，是引入無套利分析法，即另一種以遠(yuǎn)期利率為基礎(chǔ)繪制利率樹的方法，其的思路是：無論下一個(gè)時(shí)點(diǎn)利率如何變化，從下一個(gè)時(shí)點(diǎn)貼現(xiàn)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)系數(shù)總應(yīng)與直接使用當(dāng)前時(shí)點(diǎn)到下一時(shí)點(diǎn)間的遠(yuǎn)期利率進(jìn)行貼現(xiàn)的貼現(xiàn)系數(shù)相同，否則就會(huì)存在從而使市場(chǎng)不再存在任何套利機(jī)會(huì)。假如未來時(shí)點(diǎn)上不同的利率水平符合二項(xiàng)分布，用公式表示，上面的思路可以描述成： （93）根據(jù)上面的公式，很容易計(jì)算出下一期利率的二項(xiàng)分布情況，即利率上漲或下跌的值。例如，一年的即期利率（時(shí)間單位為1時(shí)，即期利率遠(yuǎn)期利率相同）為4％，利率變化的波動(dòng)率為20％，利率上漲的概率，代入上式，可以計(jì)算出一年后，＝％，＝％。如果在某一時(shí)期，在總共n次不同的利率水平下有k次利率上漲時(shí)，最低的利率可以用下式計(jì)算： （94）具體的計(jì)算過程，可以先求出概率樹，即出現(xiàn)不同節(jié)點(diǎn)利率的概率分布，如果利率的年變動(dòng)的波動(dòng)率為20％，則半年的波動(dòng)率為20%/＝%根據(jù)前面的介紹，％，％，根據(jù)公式可以推算出四期內(nèi)利率上漲或