【正文】 項(xiàng)目七 概率論、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與區(qū)間估計(jì) 實(shí)驗(yàn) 1 概率模型 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 通過(guò)將隨機(jī)試驗(yàn)可視化 , 直觀地理解概率論中的一些基本概念 , 從頻率與概率的關(guān)系來(lái)體會(huì)概率的統(tǒng)計(jì)定義 , 并初步體驗(yàn)隨機(jī)模擬方法 . 通過(guò)圖形直觀理解隨機(jī)變量及其概率分布的特點(diǎn) . 通過(guò)隨機(jī)模擬直觀加深對(duì)大數(shù)定律和中心極限定理的理解 . 基本命令 Statistics` 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的處理 , 必須調(diào)用相應(yīng)的軟件包 , 首先要輸入并執(zhí)行命令 Statistics` 以完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備工作 . Graphics\ 用 Mathematica 作直方圖 , 必須調(diào)用相應(yīng)的作圖軟件包 , 輸入并執(zhí)行 Graphics` 這時(shí)可以查詢這個(gè)軟件包中的一些作圖命令的用法 . 如輸入 ??BarChart 則得到命令 BarChart 的用法說(shuō)明 。 如果沒(méi)有 , 則說(shuō)明調(diào)用軟件包不成功 , 必須重新啟動(dòng)計(jì)算 機(jī) , 再次調(diào)用軟件包 . 實(shí)驗(yàn)舉例 頻率與概率 例 (高爾頓釘板實(shí)驗(yàn) ) (教材 例 ) 自高爾頓釘板上端放一個(gè)小球 , 任其自由下落 . 在其下落過(guò)程中 , 當(dāng)小球碰到釘子時(shí)從左邊落下的概率為 p, 從右邊落下的概率為 ,1p? 碰到下一排釘子又是如此 , 最后落到底板中的某一格子 . 因此任意放入一球 , 則此球落入哪個(gè)格子事先難以確定 . 設(shè)橫排共有 20?m 排釘子 , 下面進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn) : (1) 取 ,?p 自板上端放入一個(gè)小球 , 觀察小球落下的位置 。 將該實(shí)驗(yàn)重復(fù)作 5 次 , 觀 察 5 次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的共性及每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偶然性 。 (2) 分別取 ,?p 自板上端放入 n 個(gè)小球 , 取 ,5000?n 觀察 n 個(gè)小球落下后 呈現(xiàn)的曲線 . 作出不同 p 值下 5000 個(gè)小球落入各個(gè)格子的頻數(shù)的直方圖 , 輸入 Statistics` Graphics`Graphics` Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={}。 For[l=1,l=n,l++,k=0。 t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}]。 Do[If[t[[i]]==1,k++,k],{i,1,m}]。dist=Append[dist,k]。 pp=Frequencies[dist]。]。Histogram[dist,BarStyle{RGBColor[0,0,1]}]。] p=。n=5000。m=20。Galton[n,m,p] p=。n=5000。m=20。Galton[n,m,p] p=。n=5000。m=20。Galton[n,m,p] 則輸出圖 15. 10. 5. 0.20040060080010001200 p? 15. 10. 5. 0. 5. 10.200400600800 p? 5. 10. 15. 20.20040060080010001200 p? 圖 由圖 11 可見(jiàn) : 若 小球碰釘子后從兩邊落下的概率發(fā)生變化 , 則高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)中小球 落入各個(gè)格子的頻數(shù)發(fā)生變化 , 從而頻率也相應(yīng)地發(fā)生變化 . 而且 , 當(dāng) ,?p 曲線峰值的 格子位置向右偏 。 當(dāng) ,?p 曲線峰值的格子位置向左偏 . 古典概率 例 (生日問(wèn)題 ) 美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)別開(kāi)生面的實(shí)驗(yàn) : 在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯賽場(chǎng)上 , 他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了 22 個(gè)球迷 , 請(qǐng)他們分別寫(xiě)下自己的生日 , 結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩同生日 . 怎么會(huì) 這么湊巧呢 ? 下面我們首先通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬伯格米尼實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)一次舊事重溫 (用 22 個(gè) 1~365 是可重復(fù)隨機(jī)整數(shù)來(lái)模擬試驗(yàn)結(jié)果 ). (1) 產(chǎn)生 22 個(gè)隨機(jī)數(shù) , 當(dāng)出現(xiàn)兩數(shù)相同時(shí)或 22 個(gè)數(shù)中無(wú)相同數(shù)時(shí) ,試驗(yàn)停止并給出結(jié)果 。 (2) 重復(fù) (1)1000 次 , 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果并填入下表 (補(bǔ)表 11)中 。 (3) 產(chǎn)生 40,50,64 個(gè)隨機(jī)數(shù) , 重復(fù) (1),(2). 表 11 1000?n r 22?r 40?r 50?r 64?r 出現(xiàn)同生日次數(shù) 出現(xiàn)同生日頻率 )(rf 489 880 970 997 事實(shí)上 , 設(shè)隨機(jī)選取 r 人 , ?A {至少有兩人同生日 }, 則 ,)365()(},{ 365 rrPAPA ?? 生日全相同 而 )()365(1)(1)( 365 rfPAPAP rr ?????? 輸入命令 : Statistics` Clear[p,k]。 p[k_]=1365!/(365k)!/365^k。Plot[p[k],{k,1,100}]。k=23。 Do[x[j]=Random[Integer,{1,365}],{j,1,k}] b[0]=Table[x[j],{j,1,k}]。j=0。a[j]=0。 While[a[j]==0 amp。amp。 kj,m=j+1。z[j+1,m]=0。 While[z[j+1,m]==0amp。amp。km,z[j+1,m+1]=If[b[0][[j+1]]==b[0][[m+1]],1,0]。m++]。 a[j+1]=Sum[z[j+1,i],{i,j+1,m}]。j++]{j,m} {b[0][[j]],b[0][[m]]} birthday[n_Integer,k_Integer]:=Module[{b,c,w,v}, Do[Do[x[i,j]=Random[Integer,{1,365}],{j,1,k}]]。 b[i]=Table[x[i,j],{j,1,k}]。j=0。a[j]=0。 While[a[j]==0 amp。amp。 kj,m=j+1。z[j+1,m]=0。 While[z[j+1,m]==0 amp。amp。 km,z[j+1,m+1]=If[b[i][[j+1]]==b[i][[m+1]],1,0]。m++]。 a[j+1]=Sum[z[j+1,i],{i,j+1,m}]。j++]。 c[i]=j。d[i]=m。v[i]=Sum[a[l],{l,1,j}]。 w[i]=If[v[i]==1,1,0]{i,1,n}]。 ProportionWithAtLeastTwoSame=N[Sum[w[i],{i,1,n}]/n]。 Print[Sum[w[i],{i,1,n}]]。Print[ProportionWithAtLeastTwoSame]。 RealProb=N[p[k]]。Table[{i,v[i]},{i,1,n}]。 b[8]。 Print[b[8]]。{b[8][[c[8]]],b[8][[d[8]]]}。 n=1000。r=22。birthday[n,r]。 n=1000。r=40。birthday[n,r]。 n=1000。r=50。birthday[n,r]。 n=1000。r=64。birthday[n,r]。 則輸出所求概率 )(AP 隨人數(shù) r 變化的曲線 )(rf 圖 (圖 ). 20 40 60 80 1001 圖 幾何概型 例 (會(huì)面問(wèn)題 ) (教材 例 ) 甲、乙二人約定八點(diǎn)到九點(diǎn)在某地會(huì)面 , 先到者等 20分鐘離去 , 試求兩人能會(huì)面的概率 . 由于甲、乙二人在 [0,60]時(shí)間區(qū)間中任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的 , 若以 X,Y 分別代表甲乙二 人到達(dá)的時(shí)刻 , 則每次試驗(yàn)相當(dāng)于在邊長(zhǎng)為 60 的正方形區(qū)域 }60,0)。,{( ???? YXYX 中取一點(diǎn) . 設(shè)到達(dá) 時(shí)刻互不影響 , 因此 ),( YX 在區(qū)域 ? 內(nèi)取點(diǎn)的可能性只與區(qū)域的面積大小成正 比 , 而與其形狀、位置無(wú)關(guān) . 于是 , 會(huì)面問(wèn)題可化為向區(qū)域 ? 隨機(jī)投點(diǎn)的問(wèn)題 . 所關(guān)心的事 件“二人能會(huì)面 ”可表示為 }20||)。,{( ??? YXYXA (圖 ) 于是 , 所求概率的理論值為 ?)(AP (A 的面積 )/(? 的面積 ) ?? yx10203040506050 6030 4010 20 圖 下面 , 我們作如下模擬試驗(yàn) : (1) 模擬向有界區(qū)域 ? 投點(diǎn) n 次的隨機(jī)試驗(yàn) , 取 100?n , 統(tǒng)計(jì)每次投點(diǎn)是否落在圖 12 所示區(qū)域 A 中 , 若是則計(jì)數(shù) 1 次 . (2) 改變投點(diǎn)次數(shù) ,10000,5000,1000?n 統(tǒng)計(jì)落入?yún)^(qū)域 A 的次數(shù) . 輸入 meet[n_Integer]:=Module[{x}, x[k_]:=x[k]=Abs[Random[Integer,{0,60}]Random[Integer,{0,60}]]。 pile=Table[x[k],{k,1,n}]。times=Count[pile,x_/。0=x=20]。 Print[times]。frequence=N[times/n]] n=100。meet[n] n=1000。meet[n] n=5000。meet[n] n=10000。meet[n] 則輸出所求結(jié)果 , 為方便比較 , 將輸出結(jié)果列于表 12 中 . 表 12 約會(huì)次數(shù) 約會(huì) 成功次數(shù) 約會(huì)成功頻率 理論約會(huì)成功概率 100 58 1000 557 5000 2842 10000 5529 從上表結(jié)果可見(jiàn) , 當(dāng)約會(huì)次數(shù)越來(lái)越大時(shí) , 試驗(yàn)約會(huì)成功頻率與理論約會(huì)成功概率越來(lái) 越接近 . 例 （ 蒲豐投針試驗(yàn) ） 在平面上面有等距離為 )0( ?aa 的一些平行線 , 向平面上隨機(jī)投一長(zhǎng)為 )( aLL ? 的針 . 求針與平行線相交的概率 ).(AP 若以 M表示針的中點(diǎn) , 以 x表示 M 距離最近平行線的距離 ,? 表示針與平行線的交角 . 則針與平行線相交的充要條件是 ),( x? 滿足 ??? ???? 0,2s in0 Lx 于是 , 蒲豐投針試驗(yàn)就相當(dāng)于向平面區(qū)域 ?????? ????? 20,0),( axxG ??? 投點(diǎn)的幾何型隨機(jī)試驗(yàn) . 此時(shí) aLGAAP ?2)( ?? 的面積的面積 由于針與線相交的概率 (理論值 )為 ,2aLP ??可得 .2PaL?? 當(dāng)投針次數(shù) ??N 時(shí) , 試驗(yàn)值 (針與線相交的頻率 ) .)( PNf ? 所以有 aNf L)(2?? 于是 , 可用蒲豐投針試驗(yàn)求 ? 值 . 輸入以命令 , 進(jìn)行模擬試驗(yàn) : buffon[n_Integer,L_,a]:=Module[{},times=0。t={}。 tx=Table[Random[Real,{0,Pi}],{i,1,n}]。 ty=Table[Random[Real,{0,a/2}],{i,1,n}]。 Do[If[ty[[k]]=L/2*Sin[tx[[k]]],times++,times],{k,1,n}]。 frequence=N[times/n]。pi=2*L/(frequence*a)。 t=Append[t,{n,times,frequence,2*L/(Pi*a),pi}]。 TableForm[t,TableHeadings{None,{n,times,frequence,P,pi}}]] n=1000。L=。a=4。buffon[n,L,a] n=2020。L=。a=4。buffon[n,L,a] n=5000。L=。a=4。buffon[n,L,a] n=10000。L=。a=4。buffon[n,L,a] (1) 模擬向平面區(qū)域 G 投點(diǎn) N 次的隨機(jī)試驗(yàn) , 若投點(diǎn)落入 A 則數(shù) 1 次 , 統(tǒng)計(jì)落入?yún)^(qū)域 A的次數(shù)就是針與線相交的次數(shù) , 計(jì)算針與線相交頻率 , 并近似計(jì)算 ? 的值 . (2) 改變投點(diǎn)次數(shù) N, 重復(fù) (1), 并將計(jì)算結(jié)果填入表 13 中 . 表 13 投針數(shù) 針與線相交次數(shù) 針與線相交頻率 針與線相交概率 ? 的近似值 1000 2020 5000 10000 239 476 1202 2383 3015126 301198 注 ：值得注意的是這里采用的方法 : 建立一個(gè)概率模型 , 它與某些我們感興趣的量 —這里是常數(shù) ? —有關(guān) , 然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)試驗(yàn) ,并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這些量 . 現(xiàn)在 , 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展 , 已按照上述思路建立起一類新的方法 : 隨機(jī)模擬方法 . 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例 常言道 ,“三個(gè)臭皮匠 ,頂個(gè)諸葛亮” . 這是 對(duì)人多辦法多、人多智慧高的一種先贊譽(yù) , 你可曾想到 , 它可以從概率的計(jì)算得到證實(shí) . 下面我們來(lái)模擬 : 利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)提問(wèn) , 統(tǒng)計(jì)諸葛亮回答出問(wèn)題的次數(shù)以及三個(gè)“臭皮匠”