經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分廣義積分函數(shù)(已修改)
2025-08-31 16:42 本頁(yè)面
【正文】 一、無(wú)窮限的廣義積分 第六節(jié) 廣義積分 ? 函數(shù) 三、 ? 函數(shù) 二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分 設(shè)函數(shù))( xf在],[ ??a上連續(xù) , 極限li m ( ) dbabf x x? ? ?? 存在，就稱(chēng)此極限為在區(qū)間],[ ??a上的廣義積分。記作( ) d li m ( ) dbaa bf x x f x x??? ? ???? 此時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂 ，若上述極限不存在，則稱(chēng)廣義積分 發(fā)散 。 定義 1 一、無(wú)窮限的廣義積分 設(shè)函數(shù))( xf在],( b??上連續(xù)，極限 li m ( ) dbaaf x x? ? ?? 存在，稱(chēng)此極限為在區(qū)間 ],( b?? 上的廣義積分 ,記作 ( ) d li m ( ) dbbaaf x x f x x?? ? ? ???? 此時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂 ，若上述極限不存在 , 則稱(chēng)廣義積分 發(fā)散 。 定義 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ),( ???? 上連續(xù)，如果 0( ) df x x???與0( ) df x x??? 都存在，則稱(chēng)廣義積分 ( ) df x x?????收斂 ，且定義 00( ) d ( ) d ( ) df x x f x x f x x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? 否則稱(chēng)為發(fā)散 . 定義 3 例１ 計(jì)算 0 dtte t?? ??解 00d li m dbttbte t te t?? ??? ? ????}]{[l i m 00 dtete b tbtb ???? ?????)1(lim ???? ????? bbb ebe.1?若廣義積分收斂可以直接用 “ =”. 解 0 sin d c osa x x a??0lim s in d lim c o saaa x x a? ?? ? ???? 不 存 在?? ??0 .s i n 發(fā)散xdx. sin 2 0 ? ? ? xdx 計(jì)算 例 解 sin d 0 .xx???????? ?? ?lim sin d lim c o s c o s 0a aaa x x a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ??廣義積分發(fā)散就嚴(yán)格按照定義 . . sin 3 ? ?? ? ? xdx 計(jì)算 例 ? ? ? 0 sin 發(fā)散 xdx Q ? ? ?? ? ? . sin 發(fā)散 xdx 例 4 計(jì)算 解 02 2 201 1 1d d d1 1 1x x xx x x? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?022 0ddl i m l i m11baabxx? ? ? ? ? ??? ????ba ba a r c t a nl i m)a r c t a n(l i m ?????? ???.2)2( ??? ?????21 d.1 xx???? ??? ? ? ?02 2 20022022d d d1 1 1l i m d l i m d1111l i m l n 1 l i m l n 122.baababx x xx x xx x xxxxxxxab? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ???解 . 1 5 2 ? ? ? ? ? ? dx x x 計(jì)算 例 解 02 2 20d d d1 1 1x x xx x xx x x? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?”默認(rèn)了收斂性“ ?. 1 5 2 ? ? ? ? ? ? dx x x 計(jì)算 例 . 1 1 2 0 2 發(fā)散 發(fā)散 dx x x dx x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Q 解 ？ . 2 1 6 2 2 ? ? ? ? ? dx x x 計(jì)算 例 ? ? [ ] . 2 1 1 ln lim 4 ln 2 ln lim 1 ln lim 3 1 1 1 lim 1 1 lim 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 發(fā)散 不存在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? dx x x b b b dx x dx x dx x x b b b b b b b Q 解
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