【正文】 第八章 方差分析與回歸分析 第一節(jié) 單因素試驗(yàn)的方差分析 在科學(xué)試驗(yàn)、生產(chǎn)實(shí)踐和社會生活中，影響一個(gè)事件的因素往往很多。例如，在工業(yè)生產(chǎn)中，產(chǎn)品的質(zhì)量往往受到原材料、設(shè)備、技術(shù)及員工素質(zhì)等因素的影響；又如，在工作中，影響個(gè)人收入的因素也是多方面的，除了學(xué)歷、專業(yè)、工作時(shí)間、性別等方面外，還受到個(gè)人能力、經(jīng)歷及機(jī)遇等偶然因素的影響 . 雖然在這眾多因素中，每一個(gè)因素的改變都可能影響最終的結(jié)果，但有些因素影響較大，有些因素影響較小 . 故在實(shí)際問題中，就有必要找出對事件最終結(jié)果有顯著影響的那些因素 . 方差分 析就是根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，通過建立數(shù)學(xué)模型，鑒別各個(gè)因素影響效應(yīng)的一種有效方法 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 基本概念 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 假設(shè)前提 ★ 方差分析的任務(wù) ★ 偏差平方和及其分解 ★ ES 和 AS 的統(tǒng)計(jì)特性 ★ 檢驗(yàn)方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 習(xí)題 81 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、基本概念 在方差分析中，我們將要考察的對象的某種特征稱為試驗(yàn)指標(biāo) . 影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素 . 因素可分為兩類，一類是人們可以控制的（如上例的原材料、設(shè)備、學(xué)歷、專業(yè)等因素）；另一類人們無法控制的（如上例中員工素質(zhì)與機(jī)遇等因素） . 今后，我們所討論的因素都是指可控制因素。因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平 . 如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素在改變，則稱為單因素試驗(yàn)；如果多于一個(gè)因素在改變，則稱為多因素試驗(yàn) . 為方便起見，今后用大 寫字母 , CBA 等表示因素，用大寫字母加下標(biāo)表示該因素的水平，如 ?, 21 AA 等 . 二、假設(shè)前提 設(shè)單因素 A 具有 r 個(gè)水平，分別記為 , 21 rAAA ? 在每個(gè)水平 ),2,1( riAi ?? 下，要考察的指標(biāo)可以看成一個(gè)總體，故有 r 個(gè)總體，并假設(shè) : (1) 每個(gè)總體均服從正態(tài)分布 。 (2) 每個(gè)總體的方差相同 。 (3) 從每個(gè)總體中抽取的樣本相互獨(dú)立 . 那么，要比 較各個(gè)總體的均值是否一致，就是要檢驗(yàn)各個(gè)總體的均值是否相等，設(shè)第 i 個(gè)總體的均值為 i? ，則 假設(shè)檢驗(yàn)為 .: 210 rH ??? ??? ?? 備擇假設(shè)為 .,: 211 不全相等rH ??? ? 通常 備擇假設(shè)可以不寫 . 在水平 ),2,1( riAi ?? 下，進(jìn)行 in 次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)為 , 21iinii XXX ?記數(shù)據(jù)的總 個(gè)數(shù)為 n = .1??ri in 由假設(shè)有 ~ijX ),( 2??iN （ i? 和 2? 未知），即有 ?ijX i? ~ ),0( 2?N 故 ?ijX i? 可視為隨 機(jī)誤差 .記 ?ijX i? = ij? ，從而得到如下數(shù)學(xué)模型 : ??? ???? 未知和相互獨(dú)立各個(gè) 2i2 , ),0(~,2,1,2,1, ????? ??ijijiijiijN njriX ?? （ 1） 方差分析的任務(wù) : 1) 檢驗(yàn)該模型中 r 個(gè)總體 ),( 2??iN ),2,1( ri ?? 的均值是否相等 。 2) 作出未知參數(shù) r??? , 21 ? , 2? 的估計(jì) . 為了更仔細(xì)地描述數(shù)據(jù)，常在方差分析中引入 總平均 和效應(yīng)的概念 . 稱各均值的加權(quán)平均 ,1 1??? ri iinn ?? 為總平均 . 其中 n= .1??ri in 再引入 ,??? ?? ii ,2,1 ri ?? i? 表示在水平 iA 下總體的均值 i? 與總平均 ? 的差異，稱其為因子 A 的第 i 個(gè)水平 i? 的效應(yīng) . 易見，效應(yīng)間有如下關(guān)系式： ,0)(11 ??? ?? ?? ri iiri ii nn ??? 利用上述記號，前述數(shù)學(xué)模型可改寫為 ???????????????未知和相互獨(dú)立各個(gè) 2i21,),0(~0,2,1,2,1,?????????ijijriiirijiijNnnjriX ?? （ 2） 而前述檢驗(yàn)假設(shè)則等價(jià)于 : .,: .: 211 210 不全為零r rHH ??? ??? ? ?? ??? 三、偏差平方和及其分解 為了使造成各 ijX 之間的差異的大小能定量表示出來，我們先引入 : 記在水平 i? 下數(shù)據(jù)和記為 : ???inj iji XX 1.，其樣本均值為 .iX = ,11??inj iji Xn因素 A下的所 有水平的樣本總均值為 X = ??? ?rinj iji Xn 1 11= ??ri iXr 1 .1 , 為了通過分析對比產(chǎn)生樣本 ijX , ri ,2,1 ?? ， kj ,2,1 ?? 之間差異性的原因，從而確定因素 A 的影響是否顯著，我們引入偏差平方和來度量各個(gè)體間的差異程度 : ?TS ??? ? ?rinj iji XX1 12)( （ 3） TS 能反映全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，又稱為總偏差平方和 . 如果 0H 成立，則 r 個(gè)總體間無顯著差異，也就是說因素 A 對指標(biāo)沒有顯著影響，所有的 ijX 可以認(rèn)為來自同一個(gè)總體 ),( 2??N ，各個(gè) ijX 間的差異只是由隨機(jī)因素引起的。若 0H不成立，則在總偏差中，除隨機(jī)因素引起的差異外，還包括由因素 A 的不同水平的作用而產(chǎn)生的差異，如果不同水平作用產(chǎn) 生的差異比隨機(jī)因素引起的差異大的多，就認(rèn)為因素 A 對指標(biāo)有顯著影響，否則，認(rèn)為無顯著影響 . 為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然后進(jìn)行比較。 記 ?TS EA SS ? （ 4） 其中 ?AS ,)(12.?? ?ri ii XXn ?ES .)(1 12.??? ? ?rinj iiji XX AS 反映在每個(gè)水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素 A取不同水平引起的，稱為組間（偏差）平方和，也稱為 因素 A 的偏差平方和 . ES 表示在水平 iA 下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差（偏差）平方和，也稱為組內(nèi)（偏差）平方和 . 等式 ?TS EA SS ? 稱 為平方和分解式 . 事實(shí) 上 TS =??? ? ?rinj iji XX1 12)( =? ?? ? ???rinj iiiji XXXX1 12.. )]()[( =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( + )()(2 .1 1 . XXXX irinj iiji ??? ?? ? ,)(2.1 XXn iri i ???? 根據(jù) .iX 和 X 的定義知 0)()( .1 1 . ???? ?? ? XXXX iri nj iiji , 所以 TS =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( 2.1 )( XXn iri i ????= .AE SS ? 四、 ES 與 AS 的統(tǒng)計(jì)特性 如果 0H 成立 ， 則所有的 ijX 都服從正態(tài)分布 ),( 2??N ，且相互獨(dú)立， 由第五章第三節(jié)的定理，可以證明 : 1) )。1(~ 22 ?nST ?? 2) 2/?ES ~ )(2 rn?? ，且 ?)( ESE ??? ?sjtk ijkXst 1 11 .2? 所以 )( / rnSE ? 為 2? 的無不偏估計(jì) . 3) 2/?AS ~ )1(2 ?r? ，且 2)1()( ??? rSE A ，因此 )1( ?rSA 為 2? 的無偏估計(jì) . 4) AE SS與 相互獨(dú)立 . 五、檢驗(yàn)方法 如果組間差異比組內(nèi)差異大的多， 即說明因素的各水平間有顯著差異， r 個(gè)總體不能認(rèn)為是同一個(gè)正態(tài)總體，應(yīng)認(rèn)為 0H 不成立，此時(shí)，比值EASr Srn )1( )( ?? 有偏大的趨勢 . 為此，選 用統(tǒng)計(jì)量 )( )1( rnS rSF EA ???=EASr Srn )1( )( ?? 在 0H 為真時(shí)，有 F =EASr Srn )1( )( ?? ~ F ).,1( rnr ?? 對給定的檢驗(yàn)水平 a ，查 aF ),1( rnr ?? 的值，由樣本觀察值計(jì)算 ES ， AS ，從而計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量 F 的觀察值 . 由于 0H 不真時(shí)， AS 值偏大，導(dǎo)致 F 值偏大 . 因此， 1) 若 F aF ),1( rnr ?? 時(shí)，拒絕 0H ，表示因素 A 的各水平下的效應(yīng)有顯著差異 。 2) 若 F aF ),1( rnr ?? 時(shí)，則 接受 0H ，表示因素 A 的各水平下的效應(yīng)無顯著差異 . 實(shí)際分析中，常采用如下簡便算法和記號： ??iT ??inj ijX1， ,2,1 ri ?? ?T ??? ?rinj iji X1 1= .1??ri iX TS =??? ?rinj iji X1 12 nT2? , AS =??ri iinT12. nT2? , ES = AT SS ? 為表達(dá)的方便和直觀，將上面的分析過程和結(jié)果制成一個(gè)表格，稱這個(gè)表為單因素方差分析表： 表 81B 單因素方差分析表 111????????nSTrnSMSrnSEMSMSFrSMSrSAFTEEEEAAAA總和誤差因素值均方和自由度平方和方差來源 例題選講： 例 1 (講義例 1) 設(shè)有三臺機(jī)器 , 用來生 產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板 .取樣 , 測量薄板的厚度精確至千分之一厘米 . 得結(jié)果如下表所示 . 表 81A 鋁合金板的厚度 機(jī)器 Ⅰ 機(jī)器 Ⅱ 機(jī)器 Ⅲ 這里 , 試驗(yàn)的指標(biāo)是薄板的厚度， 機(jī)器為因素 , 不同的三臺機(jī)器就是這個(gè)因素的三個(gè)不同的水平 . 如果假定除機(jī)器這一因素外 , 材料的規(guī)格、操作人員的水平等其它條件都相同，這就是單因素 試驗(yàn) . 試驗(yàn)的目的是為了考察各臺機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異 , 即考察機(jī)器這一因素對厚度有無顯著的影響 . 如果厚度有顯著差異 , 就表明機(jī)器這一因素對厚度的影響是顯著的 . 例 2 (講義例 2) 某食品公司對一種食品設(shè)計(jì)了四種新包裝 . 為了考察哪種包裝最受歡迎 , 選了十個(gè)有近似相同銷售量的商店作試驗(yàn) , 其中兩種包裝各指定兩個(gè)商店銷售 , 另兩種包裝各指定三個(gè)商店銷售 . 在試驗(yàn)期中各商店的貨架排放位置、空間都盡量一致 , 營業(yè)員的促銷方法也基本相同 . 觀察在一定時(shí)期的銷售量 , 數(shù)據(jù)如表 所示 : 表 銷售量 包裝 商店 商店數(shù) in 1 2 3 1A 12 18 2 2A 14 12 13 3 3A 19 17 21 3 3A 24 30 2 在本例中 , 我們要比較的是四種包裝的銷售量是否一致