【正文】 A 21X 22X … sX2 ? ? ? ? ? rA 1rX 2rX … Xrs 1. 假設(shè)前提 與單 因素方差分析的 假設(shè)前提相同，仍假設(shè)： 1) ),(~ 2??ijij NX ， 2,??ij 未知 ， .,1。 記 ?TS EA SS ? （ 4） 其中 ?AS ,)(12.?? ?ri ii XXn ?ES .)(1 12.??? ? ?rinj iiji XX AS 反映在每個(gè)水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素 A取不同水平引起的，稱為組間（偏差）平方和，也稱為 因素 A 的偏差平方和 . ES 表示在水平 iA 下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差（偏差）平方和，也稱為組內(nèi)（偏差）平方和 . 等式 ?TS EA SS ? 稱 為平方和分解式 . 事實(shí) 上 TS =??? ? ?rinj iji XX1 12)( =? ?? ? ???rinj iiiji XXXX1 12.. )]()[( =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( + )()(2 .1 1 . XXXX irinj iiji ??? ?? ? ,)(2.1 XXn iri i ???? 根據(jù) .iX 和 X 的定義知 0)()( .1 1 . ???? ?? ? XXXX iri nj iiji , 所以 TS =??? ? ?rinj iiji XX1 12.)( 2.1 )( XXn iri i ????= .AE SS ? 四、 ES 與 AS 的統(tǒng)計(jì)特性 如果 0H 成立 ， 則所有的 ijX 都服從正態(tài)分布 ),( 2??N ，且相互獨(dú)立， 由第五章第三節(jié)的定理，可以證明 : 1) )。 (2) 每個(gè)總體的方差相同 。 第八章 方差分析與回歸分析 第一節(jié) 單因素試驗(yàn)的方差分析 在科學(xué)試驗(yàn)、生產(chǎn)實(shí)踐和社會(huì)生活中，影響一個(gè)事件的因素往往很多。 (3) 從每個(gè)總體中抽取的樣本相互獨(dú)立 . 那么，要比 較各個(gè)總體的均值是否一致，就是要檢驗(yàn)各個(gè)總體的均值是否相等，設(shè)第 i 個(gè)總體的均值為 i? ，則 假設(shè)檢驗(yàn)為 .: 210 rH ??? ??? ?? 備擇假設(shè)為 .,: 211 不全相等rH ??? ? 通常 備擇假設(shè)可以不寫(xiě) . 在水平 ),2,1( riAi ?? 下，進(jìn)行 in 次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)為 , 21iinii XXX ?記數(shù)據(jù)的總 個(gè)數(shù)為 n = .1??ri in 由假設(shè)有 ~ijX ),( 2??iN （ i? 和 2? 未知），即有 ?ijX i? ~ ),0( 2?N 故 ?ijX i? 可視為隨 機(jī)誤差 .記 ?ijX i? = ij? ，從而得到如下數(shù)學(xué)模型 : ??? ???? 未知和相互獨(dú)立各個(gè) 2i2 , ),0(~,2,1,2,1, ????? ??ijijiijiijN njriX ?? （ 1） 方差分析的任務(wù) : 1) 檢驗(yàn)該模型中 r 個(gè)總體 ),( 2??iN ),2,1( ri ?? 的均值是否相等 。1(~ 22 ?nST ?? 2) 2/?ES ~ )(2 rn?? ，且 ?)( ESE ??? ?sjtk ijkXst 1 11 .2? 所以 )( / rnSE ? 為 2? 的無(wú)不偏估計(jì) . 3) 2/?AS ~ )1(2 ?r? ，且 2)1()( ??? rSE A ，因此 )1( ?rSA 為 2? 的無(wú)偏估計(jì) . 4) AE SS與 相互獨(dú)立 . 五、檢驗(yàn)方法 如果組間差異比組內(nèi)差異大的多， 即說(shuō)明因素的各水平間有顯著差異， r 個(gè)總體不能認(rèn)為是同一個(gè)正態(tài)總體，應(yīng)認(rèn)為 0H 不成立，此時(shí)，比值EASr Srn )1( )( ?? 有偏大的趨勢(shì) . 為此，選 用統(tǒng)計(jì)量 )( )1( rnS rSF EA ???=EASr Srn )1( )( ?? 在 0H 為真時(shí)，有 F =EASr Srn )1( )( ?? ~ F ).,1( rnr ?? 對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 a ，查 aF ),1( rnr ?? 的值，由樣本觀察值計(jì)算 ES ， AS ，從而計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量 F 的觀察值 . 由于 0H 不真時(shí)， AS 值偏大，導(dǎo)致 F 值偏大 . 因此， 1) 若 F aF ),1( rnr ?? 時(shí)，拒絕 0H ，表示因素 A 的各水平下的效應(yīng)有顯著差異 。,1 sjri ?? ?? 2) 每個(gè)總體的方差相同； 3) 各 ijX 相互獨(dú)立， .,1。未知，ijijijijijijN sjriX ????? ?? 22 ,),0(~ 。,1,1。1)(1(,1( ??? srrF? 類似地，當(dāng) BH0 為真時(shí)，可以證明 FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B~ ))。,1 sj ?? 則 ST =??? ? ?risj ij rsTX1 122 , SA =s1 ?? ? ?ri i rsTT122 , SB = ?? ? ?sj j rsTTr1221 , SE =ST SA SB . 可得如下方差分析表 ： 表 822 無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表 1)1)(1()1)(1(/11/11??????????????rsSsrSSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBBBBBEBAAAA總和誤差因素因素比均方和自由度平方和方差來(lái)源 二、無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 設(shè)因素 A， B 作用于試驗(yàn)指標(biāo) . 因素 A 有 r 個(gè)水平 A1 ， A2 ， ?， Ar ，因素 B 有 s 個(gè)水平 B1 ， B2 ， ?， Bs . 對(duì)因素 A， B 的每一個(gè)水平的一對(duì)組合（ Ai ， Bj ）， (i=1， 2， ?， r，j=1， 2， ?， s)只進(jìn)行 )2(?tt 次實(shí)驗(yàn) （稱為等重復(fù)實(shí)驗(yàn)），得到 rst 個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 ijkX （ ),1。,1。,1。,1 ?? ?? ），稱 ij? 為水平 Ai 和水平 Bj 的交互效應(yīng)， 這是由 Ai 與 Bj 搭配聯(lián)合起作用而引起的。rsBA rsBAHH ??? ??? ,: ,0: 12111 12110 ? ? 與無(wú)重復(fù)試驗(yàn)的情況類似，此類問(wèn)題的檢驗(yàn)方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 3. 檢驗(yàn)方法 當(dāng) AH0 為真時(shí)，可以證明 FA =))1(( )1( ??trsS rSE A~ ))。1(,1( ?? trssF? 類似地，當(dāng) BAH?0 為真時(shí)，可以證明 F BA? =))1(( )1)(1( ? ??? trsS srS EBA~ ))。 每個(gè)水平組合進(jìn)行兩次試驗(yàn) , 所得結(jié)果如表 (指標(biāo)值以大為好 ). 問(wèn)通電 方法、液溫和它們的交互作用對(duì)該質(zhì)量指標(biāo)有無(wú)顯著影響 ( )?? ? 1B 2B 1A 2A 3A 1010 1010 第三節(jié) 一元線性回歸 在客觀世界中 , 普遍存在著變量之間的關(guān)系 .數(shù)學(xué)的一個(gè)重要作用就是從數(shù)量上來(lái)揭示、表達(dá)和分析這些關(guān)系?；貧w分析是研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量相關(guān)關(guān)系的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法。 本節(jié)主要介紹一元線性回歸模型估計(jì)、檢驗(yàn)以及相應(yīng)的預(yù)測(cè)和控制等問(wèn)題。所謂最小二乘法就是尋求 10 ??與 的估計(jì) 10 ?? ??， ,使 ).,(m in)?,?( 1010 ???? ? 利用微分的方法，求 Q 關(guān)于 10 ??， 的偏導(dǎo)數(shù) , 并令其為零 , 得 ?????????????????????????niiiiniiixxyQxyQ110111000)(20)(2?????? 整理得 ?????????????????????????????????????????????iniiniiniiniiniiyxxxyxn1112011110????， 稱此為正規(guī)方程組，解正規(guī)方程組得 ??????????????? ????????? ????????niiniii xnxxynyxxy1221110?????? （ 5） 其中 ???ni ixnx 11 , ???ni iyny 11 , 若記 yxnyxyyxxL ni iiini id e fxy ?? ?? ????? 11 )()( ， ?? ?? ???? ni ini id e fxx xnxxxL 1 221 2)( , 則 ????? ? ??xxxy LLxy110? ???? ?? )6( )5( 或 )6( 叫做 10,?? 的最小二乘估計(jì) . 而 xY 10 ??? ?? ?? 為 Y 關(guān)于 x 的一元經(jīng)驗(yàn)回歸方程 . 四、最小二乘估計(jì)的性質(zhì) 定理 1 若 10 ?,? ?? 為 10,?? 的最小二乘估計(jì)，則 10 ?,? ?? 分別是 10,?? 的無(wú)偏估計(jì) , 且 ?????????????????? ?xxLxnN 2200 1,~? ??? , ????????xxLN211 ,~? ??? )(? 五、回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 前 面關(guān)于線性回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 的討論是在線性假設(shè) ??? ??? xY 10 , ),0(~ 2?? N 下進(jìn)行的 . 這個(gè)線性回歸方程是否有實(shí)用價(jià)值 , 首先要根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐來(lái)判斷，其次還要根據(jù)實(shí)際觀察得到的數(shù)據(jù)運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來(lái)判斷 . 由線性回歸模型 ??? ??? xY 10 ， ),0(~ 2?? N 可知，當(dāng) 01?? 時(shí)，就認(rèn)為 Y 與 x 之間不存在線性回歸關(guān)系，故需檢驗(yàn)如下假設(shè) : ,0: 10 ??H 0: 11 ??H . 為了檢驗(yàn)假設(shè) 0H , 先分析對(duì)樣本觀察值 nyyy , 21 ? 的差異 ,它可以用總的偏差平方和來(lái)度量 , 記為 21 )(?? ??ni i yyS總, 由正規(guī)方程組 , 有 21