【正文】 , 為此把包裝類型看成是一個因子 , 記為因子 A, 它有四種不同的包裝 , 就看成是 因子 A的四個水平 , 記為 4321 , AAAA .一般將第 i 種包裝在第 j 個商店的銷售量記為 iij mjix ,2,1。4,3,2,1, ??? (在本例中 , 2,3,3,2 4321 ???? mmmm ). 由于商店間的差異已被控制在最小的范圍內(nèi) , 因此一種包裝在不同商店里的銷售量被看作為一種包裝的若干次重復觀察 , 所以可以把一種包裝看作一個總體 . 為比較四種包裝的銷售量是否相同 , 相當于要比較的四個 總體的均值是否一致 . 簡化起見 ,需要給出若干假定 ,把所要回答的問題歸結為下個統(tǒng)計問題 , 然后設法解決它 . 例 3 (講義例 3) 在例 1 中 ， 檢驗假設（ ?? ） 32113210 ,:,: ?????? HH ?? 不全相等 . 例 4 (講義例 4) 在例 2 中 ， 檢驗假設（ ?? ） 4321143210 ,:,: ???????? HH ??? 不全相等 . 第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析 在許多實際問題中，往往要同時考慮兩個因素對試驗指標的影響 . 例如，要同時考慮工人的技術和機器對產(chǎn)品質(zhì)量是否有顯著影響 . 這里涉及到工人的技術和機器這樣兩個因素 . 多因素方差分析與單因素方差分析的基本思想是一致的，不同之處就在于各因素不但對試驗指標起作用，而且各因素不同水平的搭配也對試驗指標起作用 . 統(tǒng)計學上把多因素不同水平的搭配對試驗指標的影響稱為交互作用 . 交互作用的效應只有在有重復的試驗中才能分析出來 . 對于雙因素試驗的方差分析，我們分為無重復和等重復試驗兩種情況來討論 . 對無重復試驗只需要檢驗兩 個因素對試驗結果有無顯著影響；而對等重復試驗還要考察兩個因素的交互作用對試驗結果有無顯著影響 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 無重復試驗雙因素方差分析 ★ 例 1 ★ 例 2 等重復試驗雙因素方差分析 ★ 數(shù)學模型 ★ 數(shù)學模型的改進 ★ 偏差平方和及其分解 ★ 偏差平方和的統(tǒng)計特征 ★ 檢驗方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 內(nèi)容小結 ★ 習題 82 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、 無 重復試驗雙因素方差分析 設因素 A， B 作用于試驗指標。因素 A 有 r 個水平 A1 ， A2 ， ?， Ar ，因素 B 有 s 個水平 B1 ， B2 ， ?， Bs . 對因素 A， B 的每一個水平的一對組合（ Ai ， Bj ）， (i=1， 2， ?，r， j=1， 2， ?， s)只進行一次實驗，得到 rs 個試驗結果 ijX ，列于下表中 表 821 1B 2B … sB 1A 11X 12X … sX1 2A 21X 22X … sX2 ? ? ? ? ? rA 1rX 2rX … Xrs 1. 假設前提 與單 因素方差分析的 假設前提相同，仍假設： 1) ),(~ 2??ijij NX ， 2,??ij 未知 ， .,1。,1 sjri ?? ?? 2) 每個總體的方差相同； 3) 各 ijX 相互獨立， .,1。,1 sjri ?? ?? 那么，要比較同一因素的各個總體的均值是否一致，就是要檢驗各個總體的均值是否相等，故 檢驗假設為： 因 素 B 試 驗 結 果 因 素 A jrjjjAH ????? ???? ?210 : ,1 sj ? ????? iisiiBH ???? ?210 : .,1 ri ?? 備擇假設為 不全相等。rjjjAH ??? ,: 211 ? 不全相等。isiiBH ??? ,: 211 ? 由 假 設 有 ),(~ 2??ijij NX （ ij? 和 2? 未 知 ）， 記 ?ijX i? = ij? ， 即 有ijijij X ?? ?? ~ ),0( 2?N 故 ?ijX ij? 可視為隨機誤差 . 從而得到如下數(shù)學模型 ??? ???? 相互獨立。未知，ijijijijijijN sjriX ????? ?? 22 ,),0(~ 。,1。,1, ?? 引入記號： ? = ??? ?risj ijrs 1 11 ? ， ?i? = ??sj ijs 11 ? ， i=1， 2， ?， r， j?? = ??ri ijr 11 ? ， j=1， 2， ?， s， ? i = ????i ， i=1， 2， ?， r， ? j = ????j ， j=1， 2， ?， s， 易見 ?? ?ri i1 0?， ?? ?sj j1 0?. 稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應， 稱 ? j 為水平 Bj的效應 . 且 ? ij =? +? i +? j . 于是上述模型進一步 可寫成 ?????????????????? ?? ?risjjiijijijijjiijNsjriX1 122.0,0,),0(~),2,1,2,1(,???????????相互獨立，未知，各?? 檢驗假設： ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零rA rAHH ??? ??? ? ? ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零sB sBHH ??? ??? ? ? 若 AH0 （或 BH0 ）成立，則認為因素 )( BA或 的影響不顯著，否則影響顯著。 2. 偏差平方和及其分解 類似于單因素方差分析，需要將總偏差平方和進行分解 . 記 。,1,1。,1,1,1111 1sjXrXriXsXXrsXriijjsjijirisjij?????????? ?????? ? 將總偏差平方和進行分解： ST = 21 1 )( XXrisj ij ???? ? 21 1)]()()[( XXXXXXXX jiijjrisj i???????? ???? ? ?? ? 由于在 TS 的展式中三個交叉項的乘積都等于零，故有 EBAT SSSS ??? , 其中 , ,)()( 2121 1 XXsXXS ri iri sj iA ???? ?? ? ? ?? ? ? , ,)()( 1 21 1 2 ?? ? ? ?? ? ? ???? sj jri sj jB XXrXXS SE = .)(1 12? ?? ? ?? ???risj jiij XXXX 我們稱 SE 為誤差平方和；分別稱 SA ， SB 為因素 A、因素 B 的偏差平方和 . 類似地，可以證明當 AH0 、 BH0 成立時，有 1) 2222 , ???? EBAT SSSS 分別服從自由度依次為 )1)(1(,1,1,1 ????? srsrrs 的2? 分布 。 2) EBAT SSSS , 相互獨立 . 3. 檢驗方法 當 AH0 為真時，可以證明 FA =))1)(1( )1( ?? ?srS rSE A~ ))。1)(1(,1( ??? srrF 取顯著性水平為 ? ，得假設 AH0 的拒絕域為 FA =))1)(1( )1( ?? ?srS rSE A ? ))。1)(1(,1( ??? srrF? 類似地，當 BH0 為真時，可以證明 FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B~ ))。1)(1(,1( ??? srsF 取顯著性水平為 ? ，得假設 BH0 的拒絕域為 FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B ? ))。1)(1(,1( ??? srsF? 實際分析中，常采用如下簡便算法和記號： 記 T=??? ? ?risj ij XrsX1 1 , T?i =?? ?? isj ij XsX1, 。,1 ri ?? T j? = ?? ?? ??ri jijj XrXT 1, 。,1 sj ?? 則 ST =??? ? ?risj ij rsTX1 122 , SA =s1 ?? ? ?ri i rsTT122 , SB = ?? ? ?sj j rsTTr1221 , SE =ST SA SB . 可得如下方差分析表 ： 表 822 無重復試驗雙因素方差分析表 1)1)(1()1)(1(/11/11??????????????rsSsrSSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBBBBBEBAAAA總和誤差因素因素比均方和自由度平方和方差來源 二、無重復試驗雙因素方差分析 設因素 A， B 作用于試驗指標 . 因素 A 有 r 個水平 A1 ， A2 ， ?， Ar ，因素 B 有 s 個水平 B1 ， B2 ， ?， Bs . 對因素 A， B 的每一個水平的一對組合（ Ai ， Bj ）， (i=1， 2， ?， r，j=1， 2， ?， s)只進行 )2(?tt 次實驗 （稱為等重復實驗），得到 rst 個試驗結果 ijkX （ ),1。,1。,1 tksjri ??? ??? . 1． 假設前提 1) ),(~ 2??ijijk NX ， 2,??ij 未知 ， 。,1。,1。,1 tksjri ??? ??? 2) 每個總體的方差相同； 3) 各 ijkX 相互獨立， tksjri ,1。,1。,1 ??? ??? . 由 假設有 ijkX ),(~ 2??ijN （ ij? 和 2? 未 知），記 ?ijkX i? = ijk? ，即有ijkijijk X ?? ?? ~ ),0( 2?N 故 ?ijkX ijk? 可視為隨機誤差 . 從而得到如下數(shù)學模型 ????? ????? 。,1。,1。,1 0~ 2 tksjri NXijkijkijkijijk ???相互獨立，各 ），（，? ???? 類似地，引入記號： ? ， , jiji ???? ?? 易見 ?? ?ri i1 0? ， ?? ?sj j1 0? . 仍稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應，稱 ? j 為水平 Bj 的效應 . 這樣可以將 ? ij 表示成 ? ij =? +? i + j? +? ij （ sjri ,1。,1 ?? ?? ），