【正文】 2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小高組B卷）一、填空題（每空3分，第8小題6分，共30分）1．計算：19+281+＝　 ?。?．農(nóng)諺‘逢冬數(shù)九’講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是　 　九的第　 　天．3．某些整數(shù)分別被，，除后，所得的商化作帶分數(shù)時，分數(shù)部分分別是，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是　 　．4．如圖，P，Q分別是正方形ABCD的邊AD和對角線 AC上的點，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面積為25，那么三角形PBQ的面積是　 　．5．有一筐蘋果，甲班分，每人3個還剩10個； 乙班分，每人4個還剩11個； 丙班分，每人5個還剩12個．那么這筐蘋果至少有　 　個．6．兩個大小不同的正方體積木粘在一起，構(gòu)成圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊不是中點的一個四等分點．如果大積木的棱長為4，則這個立體圖形的表面積為　 ?。?．甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米．兩車分別到達B地和A地后，立即返回．返回時，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變．已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A，B兩地的距離為　 　千米．8．用“學”和“習”代表兩個不同的數(shù)字，四位數(shù)“”與“”的積是一個七位數(shù)，且它的個位和百萬位數(shù)字與“學”所代表的數(shù)字相同，那么“”所能代表的兩位數(shù)共有　 　個．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．如圖中，不含“*”的長方形有多少個？10．如圖，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB的長度是多少？11．若干人完成了植樹2013棵的任務，每人植樹的棵數(shù)相同．如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務，而每人多植3棵可以超額完成任務．問：共有多少人參加了植樹？12．由四個完全相同的正方體堆積成如圖所示的立體，則立體的表面上（包括底面）所有黑點的總數(shù)至多是　 ?。⒔獯鹣铝懈黝}（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）用八個如圖所示的21的小長方形可以拼成一個44的正方形．若一個拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與另一個拼成的正方形圖形相同，則認為兩個拼成的正方形相同．問：可以拼成幾種兩條對角線都是其對稱軸的正方形圖形？14．（15分）對于155個裝有紅、黃、藍三種顏色球的盒子，有三種分類方法：對于每種顏色，將該顏色的球數(shù)目相同的盒子歸為一類．若從1到30之間所有的自然數(shù)都是某種分類中一類的盒子數(shù)，那么，（ 1）三種分類的類數(shù)之和是多少？（ 2）說明，可以找到三個盒子，其中至少有兩種顏色的球，它們的數(shù)目分別相同．2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小高組B卷）參考答案與試題解析一、填空題（每空3分，第8小題6分，共30分）1．計算：19+281+＝　50?。痉治觥扛鶕?jù)乘法分配律進行簡算．【解答】解：19+281+＝19+281+100＝（19+281+100）＝400＝50．故答案為：50．2．農(nóng)諺‘逢冬數(shù)九’講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是　六　九的第　7　天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月10日經(jīng)過了多少天，再求這些天里有幾個9天，還余幾天，再根據(jù)余數(shù)推算是幾九第幾天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+10＝52天，52247。9＝5…7，說明已經(jīng)經(jīng)過了5個9天，還余7天，這一天就是六九的第7天．答：2013年的2月10日是六九的第7天．故答案為：六，7．3．某些整數(shù)分別被，，除后，所得的商化作帶分數(shù)時，分數(shù)部分分別是，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是　3466?。痉治觥吭O這個數(shù)為x，則：x247。＝x，x247。＝x，x247。＝x，x247。＝x，因此這個數(shù)應是分母的最小公倍數(shù)+1，據(jù)此解答．【解答】解：設這個數(shù)為x，則：x247。＝x，x247。＝x，x247。＝xx247。＝x因此這個數(shù)應是分母的最小公倍數(shù)+1，即57911+1＝3465+1＝3466答：滿足條件且大于1的最小整數(shù)是3466．故答案為：3466．4．如圖，P，Q分別是正方形ABCD的邊AD和對角線 AC上的點，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面積為25，那么三角形PBQ的面積是　?。痉治觥窟^Q點作，EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，根據(jù)相似比可以求出各線段的長度，再用正方形的面積分別減去其余的部分，可得最后結(jié)果．【解答】解：連結(jié)QD，作EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，因為正方形ABCD的面積為25，所以AD＝EF＝5；因為QC：AQ＝2：3，根據(jù)正方形的對稱性，所以QE＝QG＝2，QF＝3．因為PD：AP＝4：1，所以AP＝1，PD＝4．S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△CQB﹣S△DQC﹣S△PQD﹣S△PAB＝25﹣25247。2﹣25247。2﹣43247。2﹣15247。2＝25﹣5﹣5﹣6﹣＝．答：．故答案為：．5．有一筐蘋果，甲班分，每人3個還剩10個； 乙班分，每人4個還剩11個； 丙班分，每人5個還剩12個．那么這筐蘋果至少有　67　個．【分析】因為10247。3＝3…1，11247。4＝2…3，12247。5＝2…2，蘋果個數(shù)除以3余1，除以4少1，除以5余2，滿足除以3余1，除以4少1的數(shù)最少是7，7除以5余數(shù)剛好是2，又因為蘋果個數(shù)大于12，5的最小公倍數(shù)是60，所以這筐蘋果至少有：60+7＝67；由此解答即可．【解答】解：10247。3＝3…1，11247。4＝2…3，12247。5＝2…2，滿足除以3余1，除以4少1的數(shù)最少是7，7除以5余數(shù)剛好是2，又因為蘋果個數(shù)大于12，所以蘋果至少：345+7＝60+7＝67（個）；答：這筐蘋果至少有67個．故答案為：67．6．兩個大小不同的正方體積木粘在一起，構(gòu)成圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊不是中點的一個四等分點．如果大積木的棱長為4，則這個立體圖形的表面積為　136?。痉治觥坑^察圖形可知，大正方體與小正方體的相連的兩個面如圖所示：因為大正方體的棱長是4，則四周的小直角三角形的直角邊分別是1；如果把四周的四個直角三角形剪下來，正好拼成一個一個面的面積是44﹣31247。24＝10的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得：大正方體的一個面的面積是44＝16；則這個立方體的表面積就是大正方體的表面積與小正方體的四個面的面積之和，據(jù)此即可解答．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：大正方體的一個面的面積是：44＝16，小正方體一個面的面積是：44﹣31247。24＝16﹣6＝10，所以這個立體圖形的表面積是：166+104＝96+40＝136，答：這個立體圖形的表面積為136．故答案為：136．7．甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米．兩車分別到達B地和A地后，立即返回．返回時，甲車的速度增加二分之一，乙車的速度不變．已知兩車兩次相遇處的距離是50千米，則A，B兩地的距離為　　千米．【分析】已知原來甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米，則此時兩車的速度比是40：60＝2：3，則第一次相遇時，甲行了全程的＝，乙行了全程的＝；甲車加速后，速度是每小時60（1+）＝60千米，即兩車返回時的速度相同．當甲到達B地時，乙速度快，在此之前就返回了，由于此時甲行完全程，則乙所行路程是甲的，即此時乙從A地返回又行了全程的﹣1＝，剩下路程兩人速度一樣，則各行一半，即在距B地處相遇，所以50千米占全程的﹣＝，則全程是50247。千米．【解答】解：甲乙兩車的速度比是：40：60＝2：3，甲車加速后是每小時行：60（1+）＝60千米，（﹣1）247。2＝50247。（﹣）＝50247。（﹣）＝50＝（千米）答：兩地相距千米．故答案為：．8．用“學”和“習”代表兩個不同的數(shù)字，四位數(shù)“”與“”的積是一個七位數(shù)，且它的個位和百萬位數(shù)字與“學”所代表的數(shù)字相同，那么“”所能代表的兩位數(shù)共有　3　個．【分析】因為四位數(shù)“”與“”的積是一個七位數(shù)，且它的個位和百萬位數(shù)字與“學”所代表的數(shù)字相同，那么習＝1，若習取大于1的數(shù)字，則不滿足題意，又因為11112222＝2468642，11113333＝3702963，11114444＝4937284，11115555＝6171605，不符合題意，據(jù)此即可解答問題．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：11112222＝2468642，11113333＝3702963，11114444＝4937284，它們的積的個位和百萬位數(shù)字與“學”所代表的數(shù)字相同，那么習＝1，所以“”所能代表的兩位數(shù)有2341，一共有3個．答：“”所能代表的兩位數(shù)共有 3個．故答案為：3．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．如圖中，不含“*”的長方形有多少個？【分析】如下圖：含有A的標記*的長方形有415＝60個，含有B的標記*的長方形有415＝60個，含有標記A和標記B的長方形有44＝16個，所以含有*的三角形有60+60﹣16＝104個，再算出圖中一共長方形的個數(shù)，據(jù)此解答．【解答】解：圖中共有長方形：＝2110＝210（個），含有A的標記*的長方形：415＝60（個），含有B的標記*的長方形：415＝60（個），含有標記A和標記B的長方形：44＝16（個），所以含有*的長方形：60+60﹣16＝104（個），不含“*”的長方形：210﹣104＝106．答：不含“*”的長方形有106個．10．如圖，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，那么AB的長度是多少？【分析】此題可以設想通過求得AD、BD的長度，來求AB的長度．因為AD＝EC，只要求出EC的長度，就可知AD的長度．根據(jù)三角形AFC的面積和四邊形DBEF的面積相等，求得＝，即可求出EC＝BC＝18＝6；再根據(jù)AD＝2BD，求得2BD＝6，則BD＝3，因此求出AB的長度，解決問題．【解答】解：設S△AFC＝S四邊形DBEF＝1，S△CEF＝x，S△ADF＝y(tǒng)，因為AD＝2BD，所以＝＝，即＝＝，解得y＝2x+1則＝＝＝，所以＝．所以EC＝BC＝18＝6，則AD＝EC＝6．又因為AD＝2BD，BD＝AD247。2＝6247。2＝3．綜上，AB＝AD+BD＝6+3＝9．答：AB的長度是9．11．若干人完成了植樹2013棵的任務，每人植樹的棵數(shù)相同．如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務，而每人多植3棵可以超額完成任務．問：共有多少人參加了植樹？【分析】根據(jù)時間知“若干人完成了植樹2013棵的任務，每人植樹的棵數(shù)相同”，則人數(shù)與棵數(shù)是2013的因數(shù)，可設原來有a人，每人植樹b棵，則ab＝2013，因有5人不參加植樹，所以，a＞5．“如果有5人不參加植樹，其余的人每人多植2棵不能完成任務，而每人多植3棵可以超額完成任務”．則2（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）．據(jù)此解答．【解答】解：設原來a人，每人b棵ab＝2013，a＞52（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）2（a﹣5）247。5＜b＜3（a﹣5）247。5（a﹣5）附近2013＝3361符合a＝61，b＝33共有61人參加植樹．答：共有61人參加了植樹．12．由四個完全相同的正方體堆積成如圖所示的立體，則立體的表面上（包括底面）所有黑點的總數(shù)至多是　59?。痉治觥棵總€正方體總點數(shù)為1+2+3+4+5+6＝21，4個正方體共84個黑點，因為要求黑點的總數(shù)至多是多少，因此，遮住的部分的點數(shù)應盡量少．然后根據(jù)相鄰邊的點數(shù)推出個正方體被遮住的面上的點數(shù)，解決問題．【解答】解：每個正方體總點數(shù)為1+2+3+4+5+6＝21，4個正方體共84個黑點，因為要求黑點的總數(shù)至多是多少，因此，遮住的部分的點數(shù)應盡量少．根據(jù)相鄰邊的點數(shù)推出：最上面正方體底面點數(shù)為5；右面正方體的左面的點數(shù)為6；中間正方體5的對面是2，因此被遮住部分的總點數(shù)為21﹣5﹣2﹣6＝8；左邊正方體右面的點數(shù)為6．因此立體的表面上（包括底面）所有黑點的總數(shù)至多是84﹣（5+6+8+6）＝84﹣25＝59．故答案為：59．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）用八個如圖所示的21的小長方形可以拼成一個44的正方形．若一個拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與另一個拼成的正方形圖形相同，則認為兩個拼成的正方形相同．問：可以拼成幾種兩條對角線都是其對稱軸的正方形圖形？【分析】用右圖代替題目中的21小長方形，因為題目所給的小長方形的上下不對稱，所以同一個小長方形在拼成的兩條對角線都是其對稱軸的正方形圖形中，這樣，就可以只考慮上半部分的不同情形，據(jù)此畫圖分析解解答．【解答】解：如圖：答：以拼成4種兩條對角線都是其對稱軸的正方形圖形．14．（15分）對于155個裝有紅、黃、藍三種顏色球的盒子，有三種分類方法：對于每種顏色，將該顏色的球數(shù)目相同的盒子歸為一類．若從1到30之間所有的自然數(shù)都是某種分類中一類的盒子數(shù)，那么，（ 1）三種