【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)—二次函數(shù)的綜合及答案解析一、二次函數(shù)1．如圖1，對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0).又P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng) AE：EP=1：4 時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（3）如圖 2，在（2）的條件下，將線段 OC 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′，旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。＜α＜90176。)，連接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值． 【答案】（1）B（3，0）；拋物線的表達(dá)式為：y=x2x；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值為．【解析】試題分析：（1）由拋物線的對(duì)稱軸和過點(diǎn)A ，即可得到拋物線的解析式，令y=0，解方程可得B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．由平行線分線段弄成比例定理可得===，從而求出E的坐標(biāo)；（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3，得到D（0，3）．如圖，取點(diǎn)M（0，），連接MC′、BM．則可求出OM，BM的長(zhǎng)，得到△MOC′∽△C′OD．進(jìn)而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到結(jié)論． 試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，∴=1，∴b=1．∵拋物線過點(diǎn)A（1，0），∴b+c=0，解得：c=，即：拋物線的表達(dá)式為：y=x2x． 令y=0，則x2x=0，解得：x1=1，x2=3，即B（3，0）； （2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴===．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．當(dāng)x=9時(shí)，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3，則D（0，3）．∵原點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如圖，取點(diǎn)M（0，），連接MC′、BM．則OM＝，BM＝＝．∵，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴，∴MC′＝C′D，∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，∴C′B＋C′D的最小值為． 點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，求得AF的長(zhǎng)是解答問題（2）的關(guān)鍵；和差倍分的轉(zhuǎn)化是解答問題（3）的關(guān)鍵．2．某廠家生產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，制造時(shí)每件的成本為40元，通過試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量萬(wàn)件與銷售單價(jià)元之間符合一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．求y與x的函數(shù)關(guān)系式；物價(jià)部門規(guī)定：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)不得超過每件80元，那么，當(dāng)銷售單價(jià)x定為每件多少元時(shí)，廠家每月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)x定為每件80元時(shí)，廠家每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4800元．【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；先根據(jù)利潤(rùn)銷售數(shù)量銷售單價(jià)成本，由試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，也不高于每千克80元，結(jié)合電子產(chǎn)品的成本價(jià)即可得出x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得最值．【詳解】解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，解得：，與x的函數(shù)關(guān)系式為．由題意得：．試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，也不高于每千克80元，且電子產(chǎn)品的成本為每千克40元，自變量x的取值范圍是．，當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，時(shí)，w有最大值，當(dāng)時(shí)，答：當(dāng)銷售單價(jià)x定為每件80元時(shí)，廠家每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4800元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，并注意最值的求法．3．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當(dāng)BP=BC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．4．如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．①當(dāng)線段PQ=AB時(shí)，求tan∠CED的值；②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．【解析】【分析】已知C點(diǎn)的坐標(biāo)，即知道OC的長(zhǎng)，可在直角