【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)—二次函數(shù)的綜合及答案解析一、二次函數(shù)1．如圖1，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），且點A坐標為(1，0).又P是拋物線上位于第一象限的點，直線AP與y軸交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，點C與坐標原點O關(guān)于該對稱軸成軸對稱.（1）求點 B 的坐標和拋物線的表達式；（2）當(dāng) AE：EP=1：4 時，求點 E 的坐標；（3）如圖 2，在（2）的條件下，將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′，旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。＜α＜90176。)，連接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值． 【答案】（1）B（3，0）；拋物線的表達式為：y=x2x；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值為．【解析】試題分析：（1）由拋物線的對稱軸和過點A ，即可得到拋物線的解析式，令y=0，解方程可得B的坐標；（2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．由平行線分線段弄成比例定理可得===，從而求出E的坐標；（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達式為y=3x+3，得到D（0，3）．如圖，取點M（0，），連接MC′、BM．則可求出OM，BM的長，得到△MOC′∽△C′OD．進而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到結(jié)論． 試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，∴=1，∴b=1．∵拋物線過點A（1，0），∴b+c=0，解得：c=，即：拋物線的表達式為：y=x2x． 令y=0，則x2x=0，解得：x1=1，x2=3，即B（3，0）； （2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴===．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．當(dāng)x=9時，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（1，0）可得AP的函數(shù)表達式為y=3x+3，則D（0，3）．∵原點O與點C關(guān)于該對稱軸成軸對稱，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如圖，取點M（0，），連接MC′、BM．則OM＝，BM＝＝．∵，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴，∴MC′＝C′D，∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，∴C′B＋C′D的最小值為． 點睛：本題是二次函數(shù)的綜合題，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，求得AF的長是解答問題（2）的關(guān)鍵；和差倍分的轉(zhuǎn)化是解答問題（3）的關(guān)鍵．2．某廠家生產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，制造時每件的成本為40元，通過試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量萬件與銷售單價元之間符合一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．求y與x的函數(shù)關(guān)系式；物價部門規(guī)定：這種電子產(chǎn)品銷售單價不得超過每件80元，那么，當(dāng)銷售單價x定為每件多少元時，廠家每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價x定為每件80元時，廠家每月獲得的利潤最大，最大利潤是4800元．【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點和點，利用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；先根據(jù)利潤銷售數(shù)量銷售單價成本，由試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克80元，結(jié)合電子產(chǎn)品的成本價即可得出x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得最值．【詳解】解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，函數(shù)圖象經(jīng)過點和點，解得：，與x的函數(shù)關(guān)系式為．由題意得：．試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克80元，且電子產(chǎn)品的成本為每千克40元，自變量x的取值范圍是．，當(dāng)時，w隨x的增大而增大，時，w有最大值，當(dāng)時，答：當(dāng)銷售單價x定為每件80元時，廠家每月獲得的利潤最大，最大利潤是4800元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，并注意最值的求法．3．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式； （2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標； （3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，3）或（0，0）；（3）當(dāng)點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達式；（2）先求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當(dāng)BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．4．如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C（0，－3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．①當(dāng)線段PQ=AB時，求tan∠CED的值；②當(dāng)以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數(shù)表達式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．【解析】【分析】已知C點的坐標，即知道OC的長，可在直角