【正文】 備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)(備戰(zhàn)中考題型整理,突破提升)附答案一、二次函數(shù)1．對(duì)于二次函數(shù) y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在實(shí)數(shù) x0，使得當(dāng) x=x0，函數(shù) y=x0，則稱x0 為該函數(shù)的“不變值”.（1）當(dāng) a=1，b=﹣2 時(shí)，求該函數(shù)的“不變值”；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù) b，函數(shù) y 恒有兩個(gè)相異的“不變值”，求 a 的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若該圖象上 A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該函數(shù)的“不變值”，且 A、B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=kx2a+3 對(duì)稱，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0a1；（3）－【解析】【分析】（1）先確定二次函數(shù)解析式為y=x2x3，根據(jù)xo是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義，把（xo，xo）代入得x02x03=xo，然后解此一元二次方程即可；（2）根據(jù)xo是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義得到axo2+（b+1）xo+（b1）=xo，整理得ax02+bxo+（b1）=0，則根據(jù)判別式的意義得到△=b24a（b1）0，即b24ab+4a0，把b24ab+4a看作b的二次函數(shù)，由于對(duì)任意實(shí)數(shù)b，b24ab+4a0成立，則（4a）0，然后解此不等式即可.（3）（利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)結(jié)論，一是中點(diǎn)在已知直線上，b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【詳解】解：（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x2x3，把（xo，xo）代入得x02x03=xo，解得xo=1或xo=3，所以函數(shù)y的不動(dòng)點(diǎn)為1和3；（2）因?yàn)閥=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b1）=xo，即ax02+bxo+（b1）=0，因?yàn)楹瘮?shù)y恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以△=b24a（b1）0，即b24ab+4a0，而對(duì)任意實(shí)數(shù)b，b24ab+4a0成立，所以（4a）0，解得0a1.（3）設(shè)A（x1，x1），B（x2，x2），則x1+x2 A，B的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ），即M（ ）A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx2a+3對(duì)稱，又∵A，B在直線y=x上，∴k=1，A，B的中點(diǎn)M在直線y=kx2a+3上.∴= 2a+3 得：b=2a23a所以當(dāng)且僅當(dāng)a= 時(shí)，b有最小值－【點(diǎn)睛】本題是在新定義下對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查，有兩個(gè)結(jié)論同時(shí)存在，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直.2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸l為x=﹣1．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上．①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）①點(diǎn)P（﹣﹣1，2）；②P（﹣ ，）【解析】試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式，由對(duì)稱軸為即可得到拋物線的解析式；（2）①首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件得到PD=OA，從而得到方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②，表示出來(lái)得到二次函數(shù)，求得最值即可．試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸l為，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）令，解得或，∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P在上，∴設(shè)點(diǎn)P（x，），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，∴點(diǎn)P（，2）；②設(shè)P(x，y)，則，∵=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=====，∴當(dāng)x=時(shí)，=，當(dāng)x=時(shí)，=，此時(shí)P（，）．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)的最值；3．最值問(wèn)題；4．壓軸題．3．如圖1，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn).（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）若點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（3）將直線向下平移，與二次函數(shù)圖像交于兩點(diǎn)(在左側(cè))，如圖2，過(guò)作軸，與直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）【解析】【分析】（1）求出a，即可求解；（2）求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)D作DH∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)H，根據(jù)三角形面積的關(guān)系求解；（3）過(guò)點(diǎn)M作MG∥x軸，交FN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判斷四邊形MNFE是平行四邊形，根據(jù)ME＝NF，求出m+n＝4，再確定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；【詳解】（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），∴a＝，∴y＝x2﹣x﹣3，與x軸交點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3；過(guò)點(diǎn)D作DH∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)H，設(shè)H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），∴DH＝|x2﹣3x|，∵S△ABC＝，∴S△DBC＝＝6，∴S△DBC＝2|x2﹣3x|＝6，∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+2，2﹣2，2；（3）過(guò)點(diǎn)M作MG∥x軸，交FN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），則E（m，m﹣3），F(xiàn)（n，n﹣3），∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四邊形MNFE是平行四邊形，∴ME＝NF，∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，ME+MN有最大值，∴M（，﹣）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)圖象及性質(zhì)；熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，結(jié)合三角形的性質(zhì)解題.4．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B