【正文】 1 第 13 講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 考點(diǎn) 1 二次函數(shù)的概念 一般地，形如 ① (a,b,c 是常數(shù)， a≠ 0)的函數(shù)叫做二次函數(shù) .其中 x 是自變量， a、 b、 c分別為函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) . 考點(diǎn) 2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a， b， c為常數(shù)， a≠ 0) a a＞ 0 a＜ 0 圖象 開口方向 拋物線開口向 ② ，并向上無限延伸 拋物線開口向 ③ ，并向下無限延伸 對稱軸 直線 x=2ba 直線 x=2ba 頂點(diǎn)坐標(biāo) (2ba ， 24 4acab? ) (2ba ， 24 4acab? ) 最值 拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) x=2ba 時(shí)， y有最小值， y最小值 = 24 4acab? 拋物 線有最高點(diǎn)，當(dāng) x=2ba 時(shí)， y有最大值，y最大值 = 24 4acab? 增減性 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x＜ 2ba 時(shí)， y隨 x 的增大而 ④ ；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x＞ 2ba a 時(shí)， y 隨 x的增大而 ⑤ ，簡記左減右增 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x＜ 2ba 時(shí)， y隨 x的增大而 ⑥ ；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞ 2ba 時(shí)， y隨 x 的增大而 ⑦ ，簡記左增右減 【 易錯(cuò)提示 】二次函數(shù)的增減性一定要分在對稱軸的左側(cè)或右側(cè)兩種情況討論 . 考點(diǎn) 3 二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系 字母或代數(shù)式 字母的符號 圖象的特征 2 a a＞ 0 開口向 ⑧ |a|越大開口越 ⑩ a＜ 0 開口向 ⑨ b b=0 對稱軸為 ? 軸 ab＞ 0(b與 a同號 ) 對稱軸在 y軸 ? 側(cè) ab＜ 0(b與 a異號 ) 對稱軸在 y軸 ? 側(cè) c c=0 經(jīng)過 ? c＞ 0 與 y軸 ? 半軸相交 c＜ 0 與 y軸 ? 半軸相交 b24ac b24ac=0 與 x軸有 ○17 交點(diǎn) (頂點(diǎn) ) b24ac＞ 0 與 x軸有 ○18 不同交點(diǎn) b24ac＜ 0 與 x軸 ○ 19 交點(diǎn) 特殊關(guān)系 當(dāng) x=1時(shí)， y=○20 當(dāng) x=1時(shí)， y=○ 21 若 a+b+c＞ 0，即當(dāng) x=1時(shí)， y○22 0 若 a+b+c＜ 0，即當(dāng) x=1時(shí)， y○23 0 考點(diǎn) 4 確定二次函數(shù)的解析式 方法 適用條件及求法 一般式 若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對自變量與函數(shù)的對 應(yīng)值，則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為○24 . 頂點(diǎn)式 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值 (最小值 )，可設(shè)所求二次函數(shù)為○25 . 交點(diǎn)式 若已知二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x1， 0)， (x2， 0)，可設(shè)所求的二次函數(shù)為○26 . 【 易錯(cuò)提示 】 (1)用頂點(diǎn)式代入頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)橫坐標(biāo)容易弄錯(cuò)符號； (2)所求的二次函數(shù)解析式最后要化成一般式 . 考點(diǎn) 5 二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c 的圖象與 ○ 27 軸的交點(diǎn)的 ○28 坐標(biāo)是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c=0的根 . 二次函數(shù)與不等式 拋物線 y=ax2＋ bx＋ c 在 x 軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的 x 的所有值就是不等式 ax2＋ bx＋ c○29 0的解集；在 x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的 x的值就是不等式 ax2＋ bx＋ c○ 30 0的解集 . y=(xh)2+k 的圖象平移時(shí)，主要看頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，一般按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”的方法進(jìn)行 . ，在對稱軸的同側(cè)具有相同的性質(zhì)，在頂點(diǎn)處有最大值或最小值，如果自變量的取值中不包含頂點(diǎn)，那么在取最大值或最小值時(shí)，要依據(jù)其增減性而定 . x軸的交點(diǎn)的方法是令 y=0解關(guān)于 x的方程；求函數(shù)圖象與 y軸的交點(diǎn)的 方法是令 x=0得 y的值，最后把所得的數(shù)值寫成坐標(biāo)的形式 . 3 命題點(diǎn) 1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例 1 (2020內(nèi)江 )若拋物線 y=x22x+c與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， 3)，則下列說法不正確的是 ( ) x=1 x=1時(shí)， y的最大值為 4 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 0)， (3， 0) 方法歸納： 解答此類題首先將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，確定二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù) .然后根據(jù)二次函數(shù)解析式、圖象、性質(zhì)的相互關(guān)系解題 . 1.(2020畢節(jié) )拋物線 y=2x2， y=2x2,y=12 x2的共同性質(zhì)是 ( ) y軸 x的增大而增大 2.(2020泰安 )對于拋物線 y=12 (x+1)2+3，下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；②對稱軸為直線 x=1；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,3)；④ x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小 .其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) 3.(2020白銀 )二次函數(shù) y=x2+bx+c，若 b+c=0，則它的圖象一定過點(diǎn) ( ) A.(1， 1) B.(1， 1) C.(1， 1) D.(1， 1) 4.(2020棗莊 )已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的 x、 y的部分對應(yīng)值如下表： x 1 0 1 2 3 y 5 1 1 1 1 則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為 ( ) x=52 x=2 x=32 命題點(diǎn) 2 二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系 例 2 (2020南充 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：① abc＞ 0；②2a+b＝ 0；③當(dāng) m≠ 1時(shí)， a+b＞ am2+bm；④ ab+c＞ 0；⑤若 ax12+bx1＝ ax22+bx2，且 x1≠ x2，則x1+x2＝ ( ) A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤ 4 方法歸納： 解答二次函數(shù)信息問題時(shí)，通常先抓住拋物線對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)圖象與字母系數(shù)之間的關(guān)系特征來求解 . 1.(2020長沙 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是 ( ) ＞ 0 ＞ 0 ＞ 0 +b+c＞ 0 2.(2020株洲 )二次函數(shù) y=2x2+mx+8的圖象如圖所示，則 m的值是 ( ) C.177。 8 3.(2020達(dá)州 )如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象的一部分，對稱軸是直線 x=1.① b2＞ 4ac；② 4a2b+c＜ 0；③不等式 ax2+bx+c＞ 0的解集是 x≥ ；④若 (2， y1),(5,y2)是拋物線 上的兩點(diǎn)，則 y1＜ 4個(gè)判斷中，正確的是 ( ) A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 4.(2020貴陽 )已知二次函數(shù) y=x2+2mx+2，當(dāng) x2時(shí)， y的值隨 x的增大而增大，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 . 命題點(diǎn) 3 確定二次函數(shù)的解析式 例 3 (2020寧波 )如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象過 A(2,0)， B(0， 1)和 C(4,5)三點(diǎn) . (1)求二次函數(shù)的解 析式； (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 D，求點(diǎn) D的坐標(biāo)； (3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線 y=x+1,并寫出當(dāng) x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值？ 【 思路點(diǎn)撥 】 (1)二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象過 B(0， 1)，所以可得 c=1，故二次函數(shù)解析式為 y=ax2+ A、 C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得 a、 b. (2)令 y=0，即可求得 D點(diǎn)坐標(biāo)； (3)利用描點(diǎn)連線畫出 y=x+1圖象，利用圖象決定 x的取值范圍 . 【 解答 】 方法歸納： (1)待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法； (2)兩函 數(shù)圖象的交點(diǎn)往往是不等關(guān)系的界點(diǎn) . 5 y=ax2+bx+c 的頂點(diǎn)是 A(2， 1)，且經(jīng)過點(diǎn) B(1， 0)，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y= . 2.(2020湖州 )已知拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A(3， 0)， B(1， 0). (1)求拋物線的解析式； (2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) . 3.(2020溫州 )如圖，拋物線 y=a(x1)2+4 與 x 軸交于點(diǎn) A， B，與 y軸交于點(diǎn) C 作CD∥ x軸交拋物線的對稱軸于點(diǎn) D，連接 A的坐標(biāo)為 (1,0). (1)求拋物線的解析式 ； (2)求梯形 COBD的面積 . 1.(2020維吾爾自治區(qū) )對于二次函數(shù) y=(x1)2+2 的圖象，下列說法正確的是 ( ) x=1 (1， 2) x軸有兩個(gè)交點(diǎn) 2.(2020濱州 )下列函數(shù)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)的是 ( ) =3x =12x =4x =x21 3.(2020荊門 )將拋物線 y＝ x26x＋ 5向上平移 2個(gè)單位長度，再向右平移 1個(gè)單位長度后，得到的拋物線解析式是 ( ) ＝ (x4)26 ＝ (x4)22 ＝ (x2)22 ＝ (x1)23 4.(2020金華 )如圖是二次函數(shù) y=x2+2x+4的圖象，使 y≤ 1成立的 x的取值范圍是 ( ) ≤ x≤ 3 ≤ 1 ≥ 1 ≤ 1或 x≥ 3 5.(2020陜西 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) 1 0 +b≠ 0 +c3b 6 6.(2020遵義 )已知拋物線 y=ax2+bx和直線 y=ax+b在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示，其中正確的是 ( ) 7.(2020東營 )若函數(shù) y=mx2+(m+2)x+12m+1 的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么 m 的值為( )