高中數(shù)學(xué) 232 平面與平面垂直的判定教案 新人教a版必修2-文庫吧
2024-11-18 20:21 本頁面
【正文】 在半平面 α 和 β 內(nèi)分別作垂直于棱的射線 OA和 OB，則射線 OA和 OB組成 ∠AOB. 圖 4 再取棱上另一點(diǎn) O′ ，在 α 和 β 內(nèi)分別作 l的垂線 O′A′ 和 O′B′ ，則它們組成角∠A′O′B′. 因?yàn)?OA∥O′A′,OB∥O′B′ ，所以 ∠AOB 及 ∠A′ O′B′ 的兩邊分別平行且方 向相同 , 即 ∠AOB=∠A′O′B′. 從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小 ，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān) . 由此結(jié)果引出二面角的平面角 概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 . 圖中的 ∠AOB,∠A′O′B′ 都是二面角 αlβ 的平面角 . ③ 直二面角的定義 . 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度 .平面角是直角的二面角叫做直二面角 . 教室的墻面與 地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的 . 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何 里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角 . 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直 . 直二面角的畫法：如圖 5. 圖 5 ④ 兩個(gè)平面垂直的判定定理 . 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 . 兩個(gè)平面垂直 的判定定理符號(hào)表述為：???????ABAB? α⊥β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖 6. 圖 6 證明如下： 已知 AB⊥β ， AB∩β=B ， AB? α. 求證： α⊥β. 分析： 要證 α⊥β, 需證 α 和 β 構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角 . 證明： 設(shè) α∩β=CD ，則由 AB? α, 知 AB、 CD 共面 . ∵AB⊥β ， CD? β,∴AB⊥CD ，垂足為點(diǎn) B. 在平面 β 內(nèi)過點(diǎn) B作直線 BE⊥CD, 則 ∠ABE 是二面角 αCDβ 的平面角 . 又 AB⊥BE ，即二面角 αCD β 是直二面角 , ∴α⊥β. ⑤ 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線 ,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直 . （四） 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 如圖 7,⊙O 在平面 α 內(nèi)， AB是 ⊙O 的直徑， PA⊥α ， C為圓周上不同于 A、 B的任意一點(diǎn) . 圖 7 求證：平面 PAC⊥ 平面 PBC. 證明： 設(shè) ⊙O 所在平面為 α, 由已知條件， PA⊥α,BC ? α,∴PA⊥BC. ∵C 為圓周上不同于 A、 B的任意一點(diǎn) ,AB是 ⊙O 的直徑 , ∴BC⊥AC. 又 ∵PA 與 AC是 △PAC 所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴BC⊥ 平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC,∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 變式訓(xùn)練 如圖 8，把等腰 Rt△ABC 沿斜邊 AB旋轉(zhuǎn)至 △ABD 的位置，使 CD=AC， 圖 8 （ 1）求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 CBDA的余弦值 . （ 1） 證明： 由題設(shè) ,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥ 平面 AB
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1