232平面與平面垂直的判定教案-文庫(kù)吧
2025-04-01 12:13 本頁(yè)面
【正文】 ：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角.③直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，. 教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的. 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線(xiàn)互相垂直的概念相類(lèi)似，也是用它們所成的角為直角來(lái)定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 直二面角的畫(huà)法：如圖5.圖5④兩個(gè)平面垂直的判定定理. 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：α⊥β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.求證：α⊥β.分析：要證α⊥β,需證α和β構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角.證明：設(shè)α∩β=CD，則由ABα,知AB、CD共面.∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B.在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BE⊥CD,則∠ABE是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線(xiàn),即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)垂直.應(yīng)用示例思路1例1 如圖7,⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn).圖7求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC.∵C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC.又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，∴BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.變式訓(xùn)練 如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中點(diǎn).∴O∈
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