【正文】 提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質(zhì)屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形展示外，還應采用變式圖形去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質(zhì)去解題時，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。（三）數(shù)學概念的鞏固為了使學生牢固地掌握所學的概念，還必須有概念的鞏固和應用過程。教學中應注意如下幾個方面。注意及時復習概念的鞏固是在對概念的理解和應用中去完成和實現(xiàn)的，同時還必須及時復習，鞏固離不開必要的復習。復習的方式可以是對個別概念進行復述，也可以通過解決問題去復習概念，而更多地則是在概念體系中去復習概念。當概念教學到一定階段時，特別是在章節(jié)末復習、期末復習和畢業(yè)總復習時，要重視對所學概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關系，形成概念體系。重視應用在概念教學中，既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念，學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應用，通過應用可以加深理解，增強記憶，提高數(shù)學的應用意識。概念的應用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進行。（1）概念內(nèi)涵的應用①復述概念的定義或根據(jù)定義填空。②根據(jù)定義判斷是非或改錯。③根據(jù)定義推理。④根據(jù)定義計算。例4（1是互質(zhì)數(shù)。（2）判斷題：27和20是互質(zhì)數(shù)（）34與85是互質(zhì)數(shù)（）有公約數(shù)1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)（）兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（）（3）鈍角三角形的一個角是 82o，另兩個角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個角可能是多少度？（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對嗎？請說明理由？2．概念外延的應用（1）舉例（2）辨認肯定例證或否定例證。并說明理由。（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。（4）將概念按不同標準分類。例5（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）（3）分母是9的最簡真分數(shù)有＿分子是9的假分數(shù)中，最小的一個是（4）將自然數(shù)2－19按不同標準分成兩類（至少提出3種不同的分法）概念的應用可分為簡單應用和綜合應用，在初步形成某一新概念后通過簡單應用可以促進對新概念的理解，綜合應用一般在學習了一系列概念后，把這些概念結(jié)合起來加以應用，這種練習可以培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力。五、小學數(shù)學概念教學中應注意的問題把握概念教學的目標，處理好概念教學的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時也由于人們認識的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學階段的概念教學，考慮到小學生的接受能力，往往是分階段進行的。如對“數(shù)”這個概念來說，在不同的階段有不同的要求。開始只是認識??，以后逐漸認識了零，隨著學生年齡的增大，又引進了分數(shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進正、負數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)，把數(shù)擴充到實數(shù)、復數(shù)的范圍等。又如，對“0”的認識，開始時只知道它表示沒有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個單位也沒有，還知道“0”可以表示界限等。因此，數(shù)學概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學的階段性成了教學中需要解決的一對矛盾。解決這一矛盾的關鍵是要切實把握概念教學的階段性目標。為了加強概念教學，教師必須認真鉆研教材，掌握小學數(shù)學概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會有所不同，即使同一概念在不同的學習階段要求也有差別。有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對分數(shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學習小數(shù)以前，就讓學生初步認識了分數(shù)，“像上面講的、、等，都是分數(shù)。”通過大量感性直觀的認識，結(jié)合具體事物描述什么樣的是分數(shù)，初步理解分數(shù)是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分數(shù)的定義，這只是描述性地給出了分數(shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識的發(fā)展過程，引導學生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中去理解分數(shù)。再如長方體和立方體的認識在許多教材中是分成兩個階段進行教學的。在低年級，先出現(xiàn)長方體和立方體的初步認識，通過讓學生觀察一些實物及實物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關長方體和立方體的感性認識，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱。然后，通過操作、觀察，了解長方體和立方體各有幾個面，每個面是什么形狀，進一步加深對長方體和立方體的感性認識。再從實物中抽象出長方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學要求只要學生知道長方體和立方體的名稱，能夠辨認和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認識的層次上。第二階段是在較高年級。教學時仍要從實例引入。教學長方體的認識時，先讓學生收集長方體的物體，教師先說明什么是長方體的面、棱和頂點，讓學生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點各自的數(shù)目，量一量棱的長度，算一算各個面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關系和區(qū)別。然后歸納出長方體的特征。再從長方體的實例中抽象出長方體的幾何圖形。進而可以讓學生對照實物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個面和幾條棱。哪些是看不見的，圖中是怎樣來表示的。還可以讓學生想一想，看一看，逐步看懂長方體的幾何圖形，形成正確的表象。在把握階段性目標時，應注意以下幾點：(1)在每一個教學階段，概念都應該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據(jù)學生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質(zhì)特征。同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。(2)當一個教學階段完成以后，應根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學生在認識了長方體之后，認為課本中的任何一張紙的形狀也是長方體的。說明該學生對長方體的概念有了更進一步的理解，教師應加以肯定。(3)當概念發(fā)展后，教師不但指出原來概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學生掌握，而且還應引導學生對有關概念進行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分數(shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來的“倍”的概念。如果把甲量當作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。因此，在數(shù)學概念教學中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學生對數(shù)學概念的認識，也需要隨著數(shù)學學習的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學時既要注意教學的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學生的認識能力；又要注意教學的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關系。加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾盡管教材中大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質(zhì)屬性。對于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來解決。但對于小學生來說，數(shù)學概念還是抽象的。他們形成數(shù)學概念，一般都要求有相應的感性經(jīng)驗為基礎，而且要經(jīng)歷一番把感性材料在腦子里來回往復，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過自己操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩?，這是形成概念的基礎。因此，在教學中，必須加強直觀，以解決數(shù)學概念的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾。（1）通過演示、操作進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學中，對于一些相對抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎上抽象出概念的本質(zhì)屬性。幾何初步知識，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，因此，教學中更要加強演示、操作，通過讓學生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來讓學生體會這些概念，從而抽象出這些概念。例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個學生用硬紙制做一個圓，半徑自定。上課時，就讓每個學生在課堂作業(yè)本上寫出三個內(nèi)容：(1)寫出自己做的圓的直徑；(2)滾動自己的圓，量出圓滾動一周的長度，寫在練習本上；(3)計算圓的周長是直徑的幾倍。全班同學做完后，要求每個同學匯報自己計算的結(jié)果。然后引導學生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長總是直徑的3倍多一點。這時再揭示：這個倍數(shù)是個固定的數(shù)，數(shù)學上叫做圓周率。再讓學生任意畫一個圓，量出直徑和周長加以驗證。這樣，引導學生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性(如圓的大小、測量時用的單位等)，抓住事物的本質(zhì)特征(圓的周長總是直徑的3倍多一點)，形成了概念。這樣教師借助于直觀教學，運用學生原有的一些基礎知識，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過實物演示，使學生建立表象，從而解決了數(shù)學知識的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。（2）結(jié)合學生的生活實際進行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學中有許多數(shù)量關系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來的，因此，在教學中應該充分利用學生的生活實際，運用恰當?shù)姆绞竭M行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學生的具體生活知識，在此基礎上又將其生活知識抽象為教學內(nèi)容。例如乘法交換律的教學，往往讓學生先解答這樣的習題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買2盒鋼筆要多少元?學生在實際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(310)2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3(210)＝60元。乘法分配律的教學也是讓學生解答類似的問題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學生熟悉的生活情景，使抽象的問題變得具體化。同樣常見數(shù)量關系中的單價、總價與數(shù)量之間的關系；路程