【正文】 ) ? ??12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。我們只要證明：令 21 1? ?? ?? ???????1122:::ttB x p x mB x p x mB x p x m?tB B B 12? ? ?,tx B x B x B但 121? ? ? ?()tp x tp x t p x m12??,p x m p x m112212111? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????( ) ( )( ) ,( , )ttttp x m tp x tmp x m t p x t mtp t p x m p x m x Bx B p m與 矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt??????),(),(,)(max)(max),(212121和因為因為屬于滿足屬于滿足??14 169。 , 羅伊恒等式（ ’s ） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v()已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)其可以直接推導(dǎo)出馬歇爾需求函數(shù) x()， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 ? 羅伊恒等式的證明：將等式 ()除以等式 ()可得證。 ? 一個例子：見例題 ( , )( , )( , )iiv p m px p mv p m m??????15 169。 , 恒等式的其它證明方法： ? 以上我們利用包絡(luò)定理證明了恒等式，但還有其它方法可以證明，試按下面的方法證明之： ? 直接從間接效用函數(shù)的定義出發(fā)，使用效用最大化的一階條件（） 16 169。 , 消費者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。消費者的這種最優(yōu)選擇問題也可以從另一個角度考慮，即為了獲得既定的效用水平，消費者如何選擇商品，以使自己的支出最小，這就是所謂的支出最小化問題。 支出最小化問題與希克斯需求函數(shù) 支出函數(shù)及其性質(zhì) ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17 169。 , 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出最小化問題的基本形式 ? 支出最小化問題的均衡解 ? 希克斯需求函數(shù) 18 169。 , A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19 169。 , B、均衡解與?？怂购瘮?shù) ? 構(gòu)建支出最小化問題的拉格朗日函數(shù) ? 根據(jù)支出最小化一階條件： ? 根據(jù)（ ）和（ ）可得： （?？怂剐枨蠛瘮?shù)） ? 希克斯需求函數(shù)是一個關(guān)于價格和效用水平的函數(shù)，它刻畫了在既定價格和效用水平下，消費者實現(xiàn)支出最小化時對商品的需求量。 [ ( ) ] ( . )0L p x λ u x u 2 7? ? ? ? () , , ( . )i i iiiL u xp λ p λ u 0 i 1 n 2 8xx??? ? ? ? ? ?[ ( , ) ] ( . )1 2 0L u x x u 0 2 9λ? ? ? ? ??* * ( , )x x p u?20 169。 , 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? 支出函數(shù)的定義 ? 支出函數(shù)的性質(zhì) 21 169。 , A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標(biāo)函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(): ),(),( upxpupeh?? ( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 10?? ? ?＋即： ，22 169。 , B、支出函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù) u(x)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么支出效用函數(shù) e()就一定具有以下幾個性質(zhì)： 性質(zhì) 1： e() 在 上連續(xù) ； 性質(zhì) 2： e() 是關(guān)于 p的一階齊次函數(shù)； 性質(zhì) 3： e()是關(guān)于 p的非遞減函數(shù)； 性質(zhì) 4： e()是關(guān)于 u的嚴(yán)格遞增函數(shù) 性質(zhì) 5： e()是關(guān)于 p的凹函數(shù) nn RR ??? 上述性質(zhì)的證明方法與間接效用函數(shù)性質(zhì)的證明方法類似，因此這里我們不給出以上性質(zhì)的的證明過程，留做習(xí)題。 23 169。 , 謝潑德引理 () ? 謝潑德引理是說：若支出函數(shù) e()已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)支出函數(shù)可以直接推導(dǎo)出希克斯需求函數(shù) 即： ? 也就是說，給定支出函數(shù)，我們只需對其求關(guān)于 p的導(dǎo)數(shù)便可得到消費者的?？怂购瘮?shù)，這一結(jié)論就是所謂的謝潑德引理，它刻畫了支出函數(shù)與?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 11p? ????24 169。 , 謝潑德引理的證明 ? 由支出函數(shù) 可知， 中的 x是最優(yōu)消費束，即 ，而 x*又是關(guān)于參數(shù) p和u的函數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，對 e()求 的導(dǎo)數(shù)，只要對支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)即可： ? 一個例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋，nRxxp???min ),( upxxx hii ?? ?ip ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋ ，i ),(*),(),( upxxpxLpupe hiiii??????? ?25 169。 , 對偶原理 消費者的效用極大化問題和支出最小化問題是一對對偶問題，因為兩者的行為原則是一致的，只是目標(biāo)函數(shù)和約束條件正好相反。本節(jié)我們將給出與這一對偶問題相關(guān)的幾個重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)有機地聯(lián)系起來。 幾個重要恒等式 對偶原理的圖示 26 169。 , 幾個重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)和連續(xù)的，且消費者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個恒等關(guān)系式： 恒等式 1： 恒等式 2： 恒等式 3： 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ? )],(,[),( upepxup ihi ? mmpvpe ?)],(,[ uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與?？怂剐枨蠛瘮?shù)的對偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對偶關(guān)系 27 169。 , A、恒等式 1： ? 恒等式 1說的是，價格為 p、收入 m為時的馬歇爾需求函數(shù)恰好等于價格為 p、效用水平為 v()（即在價格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時的希克斯需求函數(shù)。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(max),(..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..minmpvxxmpvutspxhh ??