【正文】 圖來表示效用最大化的過程 x的數(shù)量 y的數(shù)量 U1 A 消費者可以通過重新配置他的預(yù)算做得 好于 A點 U3 C 消費者不能獲得 C 點，因為收入不夠 U2 B 點 B 是效用最大化的所在 46 最大值的一階條件 ? 在無差異曲線和預(yù)算約束線的切點獲得了最大效用 x的數(shù)量 y的數(shù)量 U2 B xypp??預(yù) 算 約 束 線 的 斜 率 c o n st ant Udydx ??無 差 異 曲 線 的 斜 率 xUyp dy M R Sp d x ???常 數(shù)47 最大值的二階條件 ? 相切僅僅是必要條件，而不是充分條件，除非我們假設(shè) MRS 是遞減的 – 如果 MRS 是遞減的 , 那么無差異曲線是嚴格凸的 ? 如果 MRS 不是遞減的 , 那么我們必須檢查二階條件以保證我們獲得的是最大值。 48 最大值的二階條件 ? 相切僅僅是一個必要條件 – 我們需要 MRS 是遞減的 x的數(shù)量 y的數(shù)量 U1 B U2 A 在 A 點相切 ,但是消費者可以在 B點獲得 更高的效用 49 角點解 ? 在有些情況中 , 消費者的偏好可能使得他們僅僅在選擇消費一種商品的時候才能獲得最大效用 x的數(shù)量 y的數(shù)量 在 A 點 , 無差異曲線和預(yù)算約束線 沒有相切 U2 U1 U3 A 在 A 點效用最大化 50 n種商品情況 ? 消費者的目標是最大化 效用 = U(x1,x2,…, xn) 服從預(yù)算約束 I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn ? 建立拉各朗日函數(shù) : L = U(x1,x2,…, xn) + ?(I p1x1 p2x2 … pnxn) 51 n種商品情況 ? 內(nèi)點最大值解的一階條件 : ?L/?x1 = ?U/?x1 ?p1 = 0 ?L/?x2 = ?U/?x2 ?p2 = 0 ? ? ? ?L/?xn = ?U/?xn ?pn = 0 ?L/?? = I p1x1 p2x2 … pnxn = 0 52 一階條件含義 ? 對于任意兩種商品 , jijippxUxU ?????//? 這意味著在收入處于的最優(yōu)配置的時候 ( ) iijjpMRS x xp?對53 解釋拉各朗日乘子 ? ? 是消費支出額外增加一元的邊際效用 – 收入的邊際效用 nnpxUpxUpxU ??????????? /...//2211nxxxpMUpMUpMUn????? ...212154 解釋拉各朗日乘子 ? 在邊際點 , 商品的價格表示了消費者對于最后一單位商品效用的評價 – 消費者愿意為最后一單位付多少錢 ??ixiMUp55 角點解 ? 當考慮角點解的時候 , 必須修改一階條件 : ?L/?xi = ?U/?xi ?pi ? 0 (i = 1,…, n) ? 如果 ?L/?xi = ?U/?xi ?pi 0, 那么 xi = 0 ? 這意味著 ?????? ixiiMUxUp /– 任何其價格超過其對于消費者邊際價值的商品消費者都不會購買 56 柯布－道格拉斯需求函數(shù) ? 柯布－道格拉斯效用函數(shù) : U(x,y) = x?y? ? 建立拉各朗日函數(shù) : L = x?y? + ?(I pxx pyy) ? 一階條件 : ?L/?x = ?x?1y? ?px = 0 ?L/?y = ?x?y?1 ?py = 0 ?L/?? = I pxx pyy = 0 57 柯布－道格拉斯需求函數(shù) ? 一階條件意味著 : ?y/?x = px/py ? 因為 ? + ? = 1: pyy = (?/?)pxx = [(1 ?)/?]pxx ? 替換進預(yù)算約束 : I = pxx + [(1 ?)/?]pxx = (1/?)pxx 58 柯布－道格拉斯需求函數(shù) ? 解出 x ? 解出 y xpx I??*ypy I??*? 消費者配置收入中 ? 的比率給商品 x ， ? 比率給商品 y 59 柯布－道格拉斯需求函數(shù) ? 柯布－道格拉斯效用函數(shù) 在對于實際消費行為的解釋力上有局限 – 收入中配置到某種商品上的比率經(jīng)常隨著經(jīng)濟條件的變化而改變 ? 一個更加一般的函數(shù)形式可能在解釋消費決策的時候更有用 60 CES需求 ? 假設(shè) ? = U(x,y) = + ? 建立拉各朗日函數(shù) : L = + + ?(I pxx pyy) ? 一階條件 : ?L/?x = ?px = 0 ?L/?y = ?py = 0 ?L/?? = I pxx pyy = 0 61 CES 需求 ? 這意味著 (y/x) = px/py ? 代換進預(yù)算約束 , 我們可以解出需求函數(shù) ]1[*yxx pppx??I]1[*xyy pppy??I62 CES 需求 ? 在這些需求函數(shù)中 , 花在 x 和 y上的收入百分比不是一個常數(shù) – 依賴于兩種價格的比率 ? x (或 y)的相對價格越高，花費在 x (或 y)上的比率越小 63 CES 需求 ? 如果 ? = 1, U(x,y) = x 1 y 1 ? 一階條件意味著 y/x = (px/py) ? 需求函數(shù)是 ??????????????????1*xyxpppxI??????????????????1*yxypppyI64 CES 需求 ? 如果 ? = ?, U(x,y) = Min(x,4y) ? 人們僅僅選擇組合 x = 4y ? 這意味著 I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) I = (px + )x 65 CES 需求 ? 因此 , 需求函數(shù)是 yx ppx * ?? Iyx ppy ?? 4* I66 間接效用函數(shù) ? 經(jīng)常可以利用一階條件解出 x1,x2,…, xn的最優(yōu)值 ? 這些最優(yōu)值依賴于所有商品的價格和收入 ? ? ? x*n = xn(p1,p2,…, pn,I) x*1 = x1(p1,p2,…, pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…, pn,I) 67 間接效用函數(shù) ? 我們可以利用這些 x的最優(yōu)值獲得間接效用函數(shù) 效用最大值 = U(x*1,x*2,…, x*n) ? 替換每一個 x*i, 得到 效用最大值 = V(p1,p2,…, pn,I) ? 效用的最優(yōu)水平 間接 依賴于價格和收入 – 如果價格或者收入改變 , 效用的最大值也隨之改變 68 總量原理 ? 對于消費者一般購買力上的稅收優(yōu)于對于某種特定商品的稅收 – 收入稅允許消費者自由決定如何配置剩下的收入 – 對于某種商品的稅收會減少消費者的購買力，擾亂消費者的選擇 69 總量原理 x的數(shù)量 y的數(shù)量 A U1 ? 對于商品 x 的稅收將會把效用最大化的選擇從 A 點移到 B 點 B U2 70 ? 相同數(shù)量的收入稅將會把預(yù)算約束線移到 I’ I’ 總量原理 x的數(shù)量 y的數(shù)量 A B U1 U2 現(xiàn)在在 C 點獲得最大化的效用 U3 U3 C 71 間接效用和總量原理 ? 如果效用函數(shù)是柯布－道格拉斯形式的， ? = ? = , 我們知道 xpx 2* I?ypy 2* I?? 因此間接效用函數(shù)是 50502 ),( yx..yx pp( y * )( x * )ppVII ??72 間接效用和總量原理 ? 假設(shè) px=1,py=4,I=8 ? 如果對于商品 x 每單位征收 1元的稅 – 消費者購買 x*=2 – 間接效用從 2降到 ? 同樣的稅收將會使得收入減少到￥ 6 – 間接效用從 2 下降到 73 間接效用和總量原理 ? 如果效用函數(shù)是固定比率的， U = Min(x,4y), 我們得到 yx ppx * ?? Iyx ppy ?? 4* I? 因此間接效用函數(shù)是 yxyxyxyxppppyppyxM i nppV4*4 x **)4*,( ),(?????????III74 間接效用和總量原理 ? 如果對于商品 x 每單位征收 1元的稅 – 間接效用從 4 降為 8/3 ? 相同數(shù)量的收入稅將收入減少到 ￥ 16/3 – 間接效用從 4降為 8/3 ? 因為偏好是剛性的 , 對于 x 的稅收不會擾亂選擇 禮品贈送 75 76 支出最小化 ? 效用最大化的對偶是支出最小化 – 鏡像，即目標和約束互換 – 配置收入使得消費者花費最小的支出獲得一定的效用水平 77 支出水平 E2 足夠達到 U1 支出最小化 x的數(shù)量 y的數(shù)量 U1 支出水平 E1 太小了達不到 U1 支出水平 E3 允許消費者獲得 U1 但是不是做到這點 的最小支出 A ? 點 A 是對偶問題的解 78 支出最小化 ? 消費者的問題是選擇 x1,x2,…, xn 最小化 總支出 = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn 服從約束 效用 = U1 = U(x1,x2,…, xn) ? x1,x2,…, xn 的最優(yōu)數(shù)量依賴于商品價格和要求的效用水平 79 支出函數(shù) ? 支出函數(shù) 刻畫了在特定價格下達到給定效用水平所需要的最小支出 最小支出 = E(p1,p2,…, pn,U) ? 支出函數(shù)和間接效用函數(shù)互相聯(lián)系 – 都依賴于市場價格但是涉及不同的約束 80 兩個支出函數(shù) ? 在兩種商品、柯布－道格拉斯函數(shù)下的間接效用函數(shù)為 ),(yxyx ppppVII ?? 如果我們調(diào)換效用和收入 (支出 ) 的角色 , 我們將獲得支出函數(shù) E(px,py,U) = 81 兩個支出函數(shù) ? 對于固定比率的情況 , 間接效用函數(shù)是 yxyx ppppV ),( ??II? 如果我們再次掉換效用和支出的角色 , 我們將獲得支出函數(shù) E(px,py,U) = (px + )U 82 支出函數(shù)的性質(zhì) ? 齊次性 – 同時擴大所有商品的價格也會同比例擴大支出 ? 一次齊次 ? 對于價格非遞減 – 對于所有的商品 I ， ?E/?pi ? 0 ? 對于價格是凹的 83 E(p1,…) 因為消費者的消費模式會改變 , 實際支出會小于 Epseudo ，正如 E(p1,…) Epseudo 如果當 p*1 變化后仍然買相同的商品組合 , 消費者的支出函數(shù)是 Epseudo 支出函數(shù)的凹性 p1 E(p1,…) 在 p*1, 消費者花費 E(p*1,…) E(p*1,…) p*1 支出函數(shù)和間接效用函數(shù) ? V(px, py, I0) = U0 ? E(px, py, U0) = I0 ? V(px, py, E(px, py, U0) ) = U0 ? E(