期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型-文庫(kù)吧
2025-02-08 05:08 本頁(yè)面
【正文】 ??波 動(dòng) 率漂 移 率t? ( 0 , 1 , , )i i n?iS2023/3/8 26 幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)： 思路：用樣本均值和方差來(lái)代替總體的均值和方差 若已知在一段較長(zhǎng)時(shí)間 [0,T]內(nèi)的股價(jià)數(shù)據(jù) ，這段時(shí)間由 n個(gè) 長(zhǎng)度相等的子區(qū)間 所構(gòu)成，如果已知第 個(gè) 子區(qū)間末的股價(jià) ，則樣本觀(guān)測(cè)值有 n+1 2023/3/8 27 ? ? ? ?iii SSU lnln 1 ?? ? ? ?12 /2iii t tU B B t? ? ? ??? ? ? ? ?計(jì)算時(shí)間序列值： 由于 （ 59） 第一步 ? ?11 , , ~ 0 ,i i i it t t tB B ii d B B N t??? ? ?且? ? ? ?? ?22/2E U tVa r U t???? ? ???2023/3/8 28 應(yīng)該注意到： 于是，理論上 2023/3/8 29 樣本均值： ??? niiUnU11樣本方差： ? ??????nii UUnS12211U? ? t?? 2/2??t?2?根據(jù)式（ 59） 的觀(guān)測(cè)值的均值為 方差為 。 第二步 2023/3/8 30 解方程： ? ????????? 2/222tStU???得 ????????? /2/2tStSU??第三步 2023/3/8 31 一般經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于將應(yīng)用波動(dòng)率所對(duì)應(yīng)的時(shí)期。 習(xí)題： 以下是包鋼股票 2023年 3月 20日到 2023年 3月 23日半小時(shí)價(jià)，請(qǐng)以天為時(shí)間單位計(jì)算 。 ??和3月 20日 3月 21日 3月 22日 3月 23日 2023/3/8 32 假設(shè)： ? 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 μ和 σ為常數(shù)； ? 允許賣(mài)空； ? 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。 ? 歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2023/3/8 33 0SV ()NxX2023/3/8 34 由 BlackScholes公式，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 ? ? ? ?210 dNXedNSV r ????（ 510） ? ? ? ?xXPxN ??式中 股票現(xiàn)價(jià) 期權(quán)價(jià)格 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ?期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 距離到期的時(shí)間 ? ? ? ?20121l n / / 2 S X rddd??????? ??? ???????2023/3/8 35 是否注意到，這一公式中沒(méi)有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù) ?是投資者在短時(shí)間后獲得的預(yù)期收益率 ，依附于某種股票的衍生證券的價(jià)值一般獨(dú)立于 ?。 參數(shù) ?是股票價(jià)格波動(dòng)率。 2023/3/8 36 BlackScholes定價(jià)系統(tǒng)在完全市場(chǎng)中得到期權(quán)價(jià)格與漂移率無(wú)關(guān)，被稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，無(wú)套利是這種定價(jià)的基本假設(shè)。 BlackScholes方程的結(jié)果認(rèn)為，由于在方程中消掉了漂移項(xiàng) ，而漂移項(xiàng)代表人們對(duì)證券價(jià)格未來(lái)變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險(xiǎn)期望收益率。因此，這意味著期權(quán)的價(jià)格與人們對(duì)證券價(jià)格未來(lái)變化的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并不影響期權(quán)價(jià)格。 ? 從 BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（ S）、時(shí)間（ t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（ σ）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r，它們?nèi)际强陀^(guān)變量，獨(dú)立于主觀(guān)變量 —— 風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀(guān)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 2023/3/8 37 ? 所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界 ? 所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 ? 盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說(shuō)，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。 2023/3/8 38 2023/3/8 39 應(yīng)該注意的是： 實(shí)際期權(quán)交易中，很多看漲期權(quán)是通過(guò)競(jìng)價(jià)市場(chǎng)而非 理論公式定價(jià)。 習(xí)題： 若某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求 V 080100SXr???????2023/3/8 40 一、修正的模型 主要思路：讓模型定價(jià)等于市價(jià) ???? rbeaS ???2023/3/8 41 資產(chǎn)組合： a股價(jià)格為 S0的股票＋現(xiàn)金 b 則投資額為： baS ?? 00 （ 511） 經(jīng)過(guò)時(shí)間 后，投資的資金將變?yōu)椋? 2023/3/8 42 bSaee rr ??? ?? ???? 00 aSSaee rr ????? ?? ???? ? ?00 SSea rr ????? ?? ????（ 512） 用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 貼現(xiàn)得 于是 2023/3/8 43 ? ? 00 ??? SSeE r ??? ? 00 ????? ??re對(duì)式（ 512）兩邊求期望，則如果下列條件成立 則 （ 513） ? ??? ??? ? Ee r0 （ 514） 由此，即使 a值變化，上式總是成立。 S?2023/3/8 44 ?S~?S采用股價(jià)模型 代替真正股價(jià) ，方差保持不變 ，且滿(mǎn)足下式 0re E S??? ??? ?? ? ??? ??? ? Ee r0于是對(duì)于任何用來(lái)復(fù)制的投資組合，存在下式 現(xiàn)在的問(wèn)題是，是否存在這樣的 ？ 2023/3/8 45 如果令 ??? ? mBeSS ?? 0~ （ 515） 于是 ? ?000rBmrS e E SS e E S e ????????????????2023/3/8 46 ? ?() 1B m rEe ????? ?2 /2mr ?? ? ?即 為什么？ ? ?????? 2/02~ ??? rBeSS因此，修正的股價(jià)模型為： （ 516） 2023/3/8 47 修正模型看上去與 GBM模型非常接近，但其與股價(jià)模型是完全不同的模型，因?yàn)樵撃Ｐ椭泄蓛r(jià)的增長(zhǎng)率被人為設(shè)低了。 二、期望值 對(duì)歐式看漲期權(quán)： ? ?2 /20TB r TTS S e?????2023/3/8 48 ? ? ?? ?? XSEeV TrT將式（ 516）代入得 ? ?TrZTT eSS2/02?? ???~ ( 0 ,1 )ZN TT Z B代 替2023/3/8 49 ? ?2 /20T Z r TrTV e E S e X?????? ????? ? ?????????若 則用 于是 2023/3/8 50 ? ?? ?? ?? ?? ?????? ???? dxeXTrxTSeV xrT 22022/exp2???根據(jù)期望的概
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