期權(quán)基礎(chǔ)和期權(quán)定價-文庫吧
2025-02-08 04:47 本頁面
【正文】 ) 0 3 3C ? ? ? ? ? 100( )h????144 8 1120( )h??280 90( )h?倒推算法： 風(fēng)險中性概率不變 1. 2u ? 0. 9d ? 1. 1R ? 100X ?? 三、參數(shù)的確定 ,ud ?的收益 t?的方差 t?1 1 ( )ttR r t r??? ? ? ? ? ?( ) 1 ( )tE R t ?? ? ? ?( ) 1 ( )u u d d dt uE R R R u d t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?tRt????? ( 1 ) ( )tRu d t? ? ? ??? ? ? ? ?u?d? uRu?dRd??White算法：固定 求 u、 d ? ()tr t r? ? ? ?1 ? tue ? ?? tde ????1 2ud? ? ?? ? ?( ) / 2 1 ( )u d t?? ? ? ?) / 2u d t?? ? ?1u t t??? ? ? ? ? ?1d t t? ? ? ? ??CRR模型：確定 u、 d ，再求 取 1 tttR d r d edu d u d u d?????? ? ? ?? ? ?? ? ?? 注：該概率并非風(fēng)險中性概率，而是期望收益為 μ 的概率。 ? tue ? ?? frtfRe ?? tde ????無套利要求： fu R d?? ()ft r t t??? ? ? ? ? ?2ftr??????????? 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差遠遠小于無風(fēng)險收益率時，可能會產(chǎn)生套利，所以時間間隔的選擇很重要，因為 u、 d是它的函數(shù)。 的確定 t?：統(tǒng)計學(xué) ? tue ? ?? 1/du?tedud??? ??? 833t?? （ 一 個 月 ）15? ＝ ％ （ 每 年 ）10%? ? （ 每 年 ）則： 44 3tue ? ?? ＝1 / 0. 95 76? ＝ tedud??? ???＝例題 ? 第三節(jié) BlackScholes期權(quán)定價 2 22()2 21122x xyze dx e dx??? ? ??? ?? ? ? ????221()2xzx e dx?????? ?一、預(yù)備知識： 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布 如果隨機變量 為正態(tài)分布，即 ，則稱 X 服從對數(shù)正態(tài)分布 ln X 2l n ( , )XN ??2 2()E X e ?? ?? 222( ) ( 1 )D X e e? ? ????好處：若 X、 Y均服從對數(shù)正態(tài)分布，則 也服從對數(shù)正態(tài)分布 abz X Y?l n , XX Y Y e??則( l n )EX ??2( l n )DX ??? 二、預(yù)備知識： 股票價格模型的演繹 ?1900年 Bachelier：股價服從正態(tài)分布 缺陷 ：有限負債，即股價不可能為負 . ?簡單凈收益率（單利 R）服從正態(tài)分布： 缺陷 ：多期問題：多期收益是單期收益的乘積，單期是正態(tài)分布則多期不是正態(tài)分布。 1( ) 1ttSR S???2t01n?0,1 1 ( )nR R T? ? ??對數(shù)收益率服從正態(tài)分布 0 , 1 1 , 2 1 ,( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnR R R ?? ? ? ??股價服從幾何布朗運動：和對數(shù)收益率服從正態(tài)分布一致 0 t1 t2 T ?單期 ?多期 1l n( )) (,tttSr S N ?????單期 ?多期 120 0 1 ( 1 )( ) l n l n l n l nttTTtTSSSSrTS S S S ?? ? ? ? ?212 ,( ))(Tr r r N ????? ? ? ?好處 ：解決有限負債和多期問題。 ()0 rTTS S e? 0 (1 ( ) )TS S R T???股價 ?股價 ? 0aTTS S e? 2[ ( ) ] ( , )tr a t N tt??? ? ? ??,00( ) l im l n( ) l im l n( 1 )t dtt t tdt dttSa t RS?????? ? ? 若對數(shù)收益服從正態(tài)分布，則相對收益（短期收益）服從對數(shù)正態(tài)分布，由于 S0為常數(shù)，故股價服從對數(shù)正態(tài)分布。 三、對數(shù)收益：連續(xù)復(fù)合收益率，即連續(xù)復(fù)利率 ?允許股價以遞增的比率增長，同時它的復(fù)合增長率保持為常數(shù) 。 ? 取值范圍為 ，而短期收益 為 ，符合有限負債。 ?價格的對數(shù)分布是向右偏斜的，這與經(jīng)驗數(shù)據(jù)相容。 ()at( , )?? ??r( 1, )? ???： ()at? 為常數(shù) a ? 為可導(dǎo)函數(shù) 0()0Ta t dtTS S e??()at? 為隨機變量 2( ) ( , )a t N ??? 四、標(biāo)準(zhǔn)布朗運動：維納過程 一個隨機過程 ，它在一個微小時間間隔 之間變化為 ，如果： t?tB B?Bt?? ? ?B?（ 1） （ 2） （ 3）對于任意兩個不同時間間隔， 相互獨立，即獨立增量 0 0?： 稱 為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動 tB?維納過程處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)： 獨立增量意味著 tB? 1tB??不能由 預(yù)測，過程（曲線）是不光滑的。 ( 0 , )tB N t???有關(guān)增量 tB?tB?是隨機變量： ( ) 0tEB??()tV ar B t? ? ?這意味著： 可取任意值 t： ( ) ( 0 , )tsB N t s??,ts? 4 3 2 1 0,t t t t? ? ? ?4 3 2 1( ) ( )B B B B??和 不 相 關(guān)? ?維納過程的一階變差和 在任意區(qū)間內(nèi)都非有界 11ntttBB ????121ntttBB ?????維納過程的二階變差和 收斂，且當(dāng) m a x 0t??它以概率 1收斂 t Tt n?? 01nT T iiB B B t ??? ? ? ? ? ?這意味著： 可能是無窮大 TB?T：為任意長的時間，可能很短。 221( ) ( )nTi iB t T??? ? ? ??2()tBt? ? ?? ?隨機微分：沿用微分的符號： 2()tdB t??tdBdttdtdt乘積 0 0 0 tdB隨機微分規(guī)則 dS dt dB????22( ) ( )dS dt dB???? 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( )dt dB dt dB dB dt? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?dB是隨機微積分的基本元素，也是連續(xù)時間金融的基本元素 ( ) ( )l imt hB t h B tdBh?????不存在 當(dāng) h趨向無窮小的時間間隔 dt時，布朗運動的無限小增量： ( ) ( )B t h B t??tdB仍記為 ，它是一個隨機變量。 ? 五、一般維納過程： dS ad t bd B??dS ad t?dBbdBdS adt ? 0S S at??白噪聲：用于模擬不可預(yù)料的世界狀態(tài)對金融產(chǎn)品價格帶來的沖擊 被放大或縮小 b倍 現(xiàn)實的應(yīng)用：離散化 ()S a t b t?? ? ? ? ?( 0 ,1)N?? ( , ) ( , )dS a S t dt b S t dB??六、擴散過程：伊藤過程 ffdz df x yxy??? ? ? ? ? ? ???( , )z f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222221 1 1 ......2 2 2f f fx y x yx y x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?, tx t y B??tdBdttdtdt乘積 0 0 0 ? ?2 2212f f fdz df x y yx y y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?2212f f ftBt tBB? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???泰勒展開： ?伊藤過程：只與 S和 t 有關(guān)的過程 ? 七、 ITO伊藤定理： 222222
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