【正文】 ???????987654321A 在創(chuàng)建過程中，矩陣的元素行與行之間需要用分號“ ?！遍g隔，也可以在需要分行的地方用回車鍵間隔，矩陣的元素之間可以使用逗 號“ ,”或者空格間隔。其實(shí)創(chuàng)建上面的矩陣還可以這么做 A=[1:3。4:6。7:9]。 我們可以將矩陣的每一行或者每一列看作一個(gè)向量，矩陣就是由若干向量 組合而成的。那么矩陣元素的訪問則類似于向量元素的訪問，使用索引即可。 表 使用索引訪問矩陣元素的方法 矩陣元素的訪問 說 明 A(i,j) 訪問矩陣 A 的第 i行第 j 列上的元素，其中 i和j 為標(biāo)量 A(I,J) 訪問有向量 I和 J指定的矩陣 A中的元素 A(i,:) 訪問矩陣 A 中第 i行的所有元素 A(:,j) 訪問矩陣 A 中第 j列的所有元素 A(:) 訪問矩陣 A 中的所有元素，將矩陣看作一個(gè)向量 A(l) 使用單下標(biāo)的方式訪問矩陣元素，其中 l為標(biāo)量 A(L) 訪問有向量 L指定的矩陣 A的元素，向量 L 中的元素為矩陣元素的單下標(biāo)數(shù)值 矩陣元素的單下標(biāo)與全坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下，以 m*n 的矩陣為例，該矩陣的第 i 行第 j列的元素全下標(biāo)表示為單下標(biāo) l=(j1)*m+i。為了方便全下標(biāo)和單下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換， MATLAB 提供了兩個(gè)函數(shù)分別完成兩者之間的相互轉(zhuǎn)換： sub2ind：根據(jù)全下標(biāo)計(jì)算單下標(biāo)。 第 4 頁 ind2sub：根據(jù)單下標(biāo)計(jì)算全下標(biāo)。 流程 控制 程序流程控制包含控制程序流程的基本結(jié)構(gòu)和語法，例如應(yīng)用程序的選擇和循環(huán)結(jié)構(gòu)，這也是結(jié)構(gòu)化編程的基本基本結(jié)構(gòu)，使用結(jié)構(gòu)化的應(yīng)用程序設(shè)計(jì)方法可以使設(shè)計(jì)的程序結(jié)構(gòu)清晰、可讀性強(qiáng)，能夠提高應(yīng)用程序的設(shè)計(jì)效率，增強(qiáng)程序的可維護(hù)性。結(jié)構(gòu)化的程序主要有三種基本的程序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 本節(jié)主要介紹選擇結(jié)構(gòu)中的 if 語句，循環(huán)結(jié)構(gòu)中的 for 循環(huán)。 1. if 語句的基本語法結(jié)構(gòu)有三種，分別如下： (1) if(關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式 ) MATLAB 語句 end 這種形式的選擇結(jié)構(gòu)表示，當(dāng)關(guān)系 運(yùn)算表達(dá)式計(jì)算的結(jié)果為邏輯真的時(shí)候，執(zhí)行 MATLAB 語句，這里的 MATLAB 語句也可以是多個(gè) MATLAB 表達(dá)式。 (2) if(關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式 ) MATLAB 語句 A else MATLAB 語句 B end 這種形式的選擇結(jié)構(gòu)表示，當(dāng)關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果為邏輯真的時(shí)候，執(zhí)行 MATLAB 語句 A，否則執(zhí)行 MATLAB 語句 B。 (3) if(關(guān)系表達(dá)式 a) MATLAB 語句 A elseif(關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式 b) MATLAB 語句 B else(關(guān)系表達(dá)式 c) ? end 這種選擇結(jié)構(gòu)可以判斷多條 關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果，然后按照執(zhí)行的邏輯關(guān)系執(zhí)行相應(yīng)的語句。 2. for 語句構(gòu)成循環(huán)的循環(huán)是最靈活、簡潔的方法，不過使用 for 語句循環(huán)需要預(yù)先知道循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)。在 MATLAB 中 for 循環(huán)的基本結(jié)構(gòu)如下： 第 5 頁 for index=start:increment:end MATLAB 語句 end 其中， index 的取值取決于 start 和 end 的值， increment 為步長，默認(rèn)的數(shù)值為 1。 和其他高級語言類似， MATLAB 的循環(huán)結(jié)構(gòu)也可以進(jìn)行嵌套使用，在使用時(shí)需要注意 for 關(guān)鍵字和 end關(guān)鍵字之間的 配對使用。 MATLAB 語言的傳統(tǒng)優(yōu)點(diǎn) MATLAB 自問世起，就以數(shù)值計(jì)算稱雄。 MATLAB 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的基本處理單位是復(fù)數(shù)數(shù)組，并且數(shù)組維數(shù)是自動(dòng)按照規(guī)則確定的。這一方面使 MATLAB 程序可以被高度“向量化”，另方面使用戶易讀易寫。 比如已知 t 的采樣數(shù)據(jù)是 (n*m)維數(shù)組，要計(jì)算 )5sin(2 tey t?? 。對一般的計(jì)算語言來說，必須采用兩層循環(huán)才能得到結(jié)果，不但程序復(fù)雜，而且那些討厭的循環(huán)十分費(fèi)時(shí)。 MATLAB 處理這類問題則簡潔快捷的多，只需直接了當(dāng)?shù)囊粭l指令 )*5s in (*).*2e x p ( tty ?? ，就可獲得同樣結(jié)果。這就是所謂的“數(shù)組運(yùn)算”。這種運(yùn)算在下面的分形圖繪制過程中，將被頻繁使用。 第 6 頁 第二章 分形入門知識 分形理論 誰創(chuàng)立了分形幾何學(xué) 1973 年，美籍法國數(shù)學(xué)家 在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形（ Fractal）一詞，是 Mandelbort 教授創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普 遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。 分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有何特點(diǎn) (1) 從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。 (2) 在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn) 象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。 Fractal(分形 )一詞的由來 據(jù) Mandelbort教授自己說， fractal一詞是 1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞 fractus，對應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是 frangere（破碎、 產(chǎn)生無規(guī)碎片）。此外與英文的 fraction（ 碎片 、 分?jǐn)?shù)）及 fragment（碎片 ）具有相同的詞根。在70 年代中期以前， Mandelbort 一直使用英文 fractional 一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷 英文之尾的 fractal，本意是不規(guī)則的、破碎 的、分?jǐn)?shù)的。 Mandelbort 是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。 分形的定義 Mandelbort 曾經(jīng)為分形下過兩個(gè)定義： (1) 滿足下式條件 )d im ()( AADi m ? 的集合 A，稱為分形集。 其中， Dim(A)為集合 A的 Hausdoff 維數(shù)（或分維數(shù)）， dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說來， Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。 第 7 頁 (2) 部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。 然而，經(jīng)過理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的科學(xué)定義，正如生物學(xué)中對“生命”也沒有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。 a. 分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。 b. 分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。 c. 分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似